F'(c)>0 implica f crescente?

[aleph_91]

E' vero che data $f:RR\to RR$ derivabile in $c$ e con $f'(c)>0 $ esiste un intorno di $c$ in cui $f$ è crescente?

[Alexp1]

Si, perchè (intuitivamente) la retta tg approssima linearmente la funzione in un intorno del punto, quindi se la derivata prima è positiva, significa che il coeff. angolare della retta tg è positivo, pertanto la retta cresce se ci di sposta verso destra....in concomitanza, nell'intorno del punto di tangenza, crescerà anche la funzione, essendo appunto approssimata dalla retta tg in quell'intorno!

[Gatto891]

Tra l'altro se non sbaglio $f'(x) > 0$ implica f(x) strettamente crescente (mentre il viceversa non è vero)

[Alexp1]

"Gatto89":Tra l'altro se non sbaglio $f'(x) > 0$ implica f(x) strettamente crescente (mentre il viceversa non è vero)

si, infatti l'esempio più classico è $y=x^3$ che ha per derivata $y'=3x^2$, essa si annulla per $x=0$, ma è strettamente crescente in $(-infty, 0^-)$ e in $(0^+, infty)$ e quindi lo è anche su tutto $R$.

[adaBTTLS1]

di solito i libri di testo lo riportano tra le coseguenze del teorema di Lagrange.

[@melia]

"Alexp": si, infatti l'esempio più classico è $y=x^3$ che ha per derivata $y'=3x^2$, essa si annulla per $x=0$, ma è strettamente crescente in $(-infty, 0^-)$ e in $(0^+, infty)$ e quindi lo è anche su tutto $R$.

Credo che tu debba aggiungere qualche altra ipotesi perché anche $y=-1/x$ è strettamente crescente in $(-infty, 0)$ e in $(0,+ infty)$, ma non lo è su tutto $RR$

[aleph_91]

Non posso crederci che mi abbiate risposto così.
Stavate scherzando, vero??


Dai, su:
$f(x)= x^2$ se $x \in QQ$, $f(x)=2x-1$ se $x \notin QQ$ è derivabile in 1, ma non esiste alcun intorno di 1 in cui sia crescente.

[adaBTTLS1]

non mi risulta che la tua funzione sia continua in x=1. e se non è continua di certo non è derivabile...

EDIT: ti ho risposto di getto, senza neanche fare il conto. sì, forse i due limiti coincidono, anche delle due derivate, ma più volte si è parlato di come studiare la derivabilità di una funzione, e a me non pare che questa sia derivabile... aspetto con molta curiosità di sentire altri pareri.

[aleph_91]

"adaBTTLS":non mi risulta che la tua funzione sia continua in x=1. e se non è continua di certo non è derivabile...

$x^2$ è continua in 1, e lo è pure $2x-1$. Quindi per ogni $\epsilon$ esistono $\delta_1$ e $\delta_2$ tali che se $x$ sta in un intorno di 1 con ampiezza minore di $\delta_1,\delta_2$ sia $x^2$ sia $2x-1$, e quindi a maggior ragione la mia funzione, distano da $f(1)$ per meno di $epsilon$.

La mia funzione è continua in 1.

[aleph_91]

E' anche derivabile, e si vede facendo il rapporto incrementale.
EDIT: mostriamolo.

Il rapporto incrementale in 1 è una funzione di $h$ tale che $g(h)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=2 $ se $h \notin QQ$, $\frac{2h+h^2}{h}=2+h$ se $h \in QQ_0$. E questo tende a 2 se $h\to 0$

[adaBTTLS1]

sì, ho detto di aver risposto di getto. quello che si può dire, e che di fatto hai detto tu nell'ultimo intervento, è che esiste il limite che è uguale al valore della funzione, per cui la funzione è continua. riguardo al tuo quesito iniziale, le due funzioni sono comunque entrambe crescenti, ma mi pare che non lo sia la funzione complessiva. ho delle perplessità sulla derivabilità, perché non mi pare che basti la continuità nel punto, ma occorra la continuità nell'intorno, e questa di sicuro non è continua nell'intorno di 1. come ripeto, sono curiosa di sentire altri pareri...

[adaBTTLS1]

nel frattempo ha i risposto anche alla derivabilità. che i due limiti coincidano lo avevo detto anch'io quando mi sono ricorretta. continuo a pensare che tale condizione sia un tantino "forzata" per la derivabilità, ma forse sbaglio...

[aleph_91]

Ah ok, attenderemo. Per quel po' di analisi che ho visto, mi pare si possa definire il rapporto incrementale (e la derivata) in $c$ per una qualsiasi funzione $f: D \toRR$ se $c$ è punto d'accumulazione per $D$, generico spazio metrico

[Thomas16]

beh ada, aleph_91 ha applicato semplicemente la definizione di derivata nel punto: ovvero il rapporto incrementale, nulla più nulla meno...

per funzioni da D in R non so se puoi definire la "derivata"... per esempio se D=R^n definisci il differenziale, o la derivata direzionale.... direi comunque che per $D$ spazio di Banach si definisce, con solo lo spazio metrico non saprei cosa tu possa fare (di sicuro non ci definisci una "applicazione lineare")...

cmq mi sembra un esercizio un pò (tanto) difficile per le superiori (discorso analogo per l'altro da te postato)... io lo sposterei ad analisi ed attenderei gugo82 che ci illumini sulla questione...

[aleph_91]

Ok è vero, ho detto una boiata, $D$ deve essere sottoinsieme di $RR$. Chiedo venia

[ViciousGoblin]

Vi confermo che la condizione $f'(c)>0$ nel solo punto $c$ non basta a garantire che $f$ sia crescente in un intorno di $c$.
Un altro esempio e' il seguente (che rispetto al precedente considera una $f$ che e' derivabile in ogni punto - ma naturamente
la derivata non e' continua in $c$)

$f(x)=x+2x^2\sin(1/x)$

Lascio a chi voglia cimentarsi di mostrare che la derivata in $0$ fa uno ma che vicino a zero ci sono infiniti intervallini in cui $f$ e' cresente e
infiniti intervallini in cui $f$ e' decrescente.

Quello che si puo' dire in questo caso e' che $f$ e' crescente in $c$, cioe' che esiste un intorno di $c$ tale che se $x>c$ ($x $f(x)>f(c)$ ($f(x)

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[pic2]

Qualcuno (non ricordo chi) mi parlò di quest'esempio come "esempio delle cento pistole". Può essere? Egli sosteneva che fosse stato a chiamarlo così il prof di analisi.

[adaBTTLS1]

@ ViciousGoblin
grazie del chiarimento. però, leggendo tra le righe, dici "naturalmente" la derivata non è continua.
ma questo vale in generale (per questi casi) o in particolare per la funzione proposta da te?
forse dipende dal fatto che la tua funzione non è definita in 0 (però si può estendere con continuità)?

per quella di aleph_91 ?
il ragionamento che porta a dimostrare la continuità nel punto 1 è lo stesso (quello che a me non convinceva) che porterebbe a dimostrare la continuità della derivata nel punto 1 ... : in altre parole, se è continua, non vedo perché non possa essere continua anche la derivata.
ma questo significa che dobbiamo pensare che sia continua e con derivata continua in 1 nonostante nell'intorno di 1 abbia infinite oscillazioni?

ciao e grazie.

[ViciousGoblin]

"adaBTTLS":@ ViciousGoblin
grazie del chiarimento. però, leggendo tra le righe, dici "naturalmente" la derivata non è continua.
ma questo vale in generale (per questi casi) o in particolare per la funzione proposta da te?
forse dipende dal fatto che la tua funzione non è definita in 0 (però si può estendere con continuità)?

In effetti avrei dovuto dire che $f(0)=0$, scusate.
Se la derivata fosse continua in zero allora avremmo $f(x)>0$ in un intorno di zero e quindi $f$ sarebbe crescente in tale intorno.
(per il teorema di Lagrange, come dicevi tu)

"adaBTTLS":
per quella di aleph_91 ?
il ragionamento che porta a dimostrare la continuità nel punto 1 è lo stesso (quello che a me non convinceva) che porterebbe a dimostrare la continuità della derivata nel punto 1 ... : in altre parole, se è continua, non vedo perché non possa essere continua anche la derivata.
ma questo significa che dobbiamo pensare che sia continua e con derivata continua in 1 nonostante nell'intorno di 1 abbia infinite oscillazioni?
ciao e grazie.

A me pare che la funzione di aleph_91 (complimenti se l'ha pensata lui ) sia derivabile solo in zero (fuori da zero non e' nemmeno continua). Quindi il problema della continuita'
della derivata non e' molto interessante (anche se, essendo definita solo in un punto, la derivata e' automaticamente continua).
Invece quella che ho proposto io (che non e' mia naturalmente) fornisce anche un esempio di funzione derivabile in tutti i punti ma con derivata non continua in zero
(per avere questo fenomeno puoi tranquillamente togliere il temine $x$)

[Alexp1]

Beh ragazzi, secondo me se la funzione $f(x)$ è continua con derivata continua, allora il fatto che $f'(c)>0$ implica che $f(x)$ sia crescente in un intorno di $c$

[aleph_91]

"Alexp":Beh ragazzi, secondo me se la funzione $f(x)$ è continua con derivata continua, allora il fatto che $f'(c)>0$ implica che $f(x)$ sia crescente in un intorno di $c$

Anche secondo noi eh!
Il bello del problema era proprio questo, se non si dice nulla sulla continuità o derivabilità di $f$ in un intorno di $c$, ma solo localmente in $c$, non c'è la crescenza!