Fattorizzazione di polinomi
Mi sono accorto che probabilmente ho lacune su questa parte della matematica, sono all'Università e durante la spiegazione della diagonalizzazione delle matrici mi sono imbattuto nel "polinomio caratteristico" che deve essere fattorizzato. Lasciamo però perdere questi dettagli.
Dopo alcuni calcoli mi ritrovo con:
$(t-1)*(t^2+2t-3)$
L'esercizio svolto mi dice che alla fine il polinomio deve essere scomposto e deve tornare in questo modo:
$(t-1)^2*(t+3)$
Come ho detto in precedenza, sarà che ho lacune in questa parte (ho avuto un professore veramente pessimo in 1° e 2° superiore) ma non riesco a far tornare il polinomio come nell'esercizio!
Dopo alcuni calcoli mi ritrovo con:
$(t-1)*(t^2+2t-3)$
L'esercizio svolto mi dice che alla fine il polinomio deve essere scomposto e deve tornare in questo modo:
$(t-1)^2*(t+3)$
Come ho detto in precedenza, sarà che ho lacune in questa parte (ho avuto un professore veramente pessimo in 1° e 2° superiore) ma non riesco a far tornare il polinomio come nell'esercizio!
Risposte
Partiamo da $(x+a)(x+b)$. Se espandiamo questo polinomio ottieniamo $x^2 + (a+b)x + a*b$. Questo è proprio tutto quello su cui si basa il metodo di scomposizione di cui parli. Devi trovare due numeri $a$ e $b$ tali che il loro prodotto è $-3$ e la loro somma è $+2$. È chiaro che ti conviene partire pensando ai divisori di $-3$, che sono $pm 1$ e $pm 3$. Notiamo che se scelgo $a=-1$ e $b=+3$ allora avrò che $ab = -3$ e $a+b=2$. Questo significa che il polinomio $t^2+2t-3$ potrà essere scomposto come $(t-1)(t+3)$. Tutto qui, nulla di troppo complicato. Questo può essere anche facilmente esteso anche per i polinomi del tipo $ax^2+bx+c$.
Grazie per la spiegazione, ho più o meno capito. Puoi dirmi nello specifico come si chiama questo metodo di scomposizione? Penso abbia un nome, così cerco qualcosa su internet e me lo ripasso, perchè mi ricordo soltanto il metodo di raccoglimento a fattor comune.
Non sono sicurissimo (infatti è per quello che ho preferito scrivere "di cui parli") però mi sembra che si chiami metodo di scomposizione del trinomio caratteristico.
Sembra essere quello, ti ringrazio! Mamma mia che brutta cosa essere all'Università e non ricordarsi nemmeno queste "stupidaggini", mi si è abbassata l'autostima.
Ho notato che comunque trovare questi due numeri $a$ e $b$ può essere semplificato utilizzando la formula di risoluzione delle equazioni di secondo grado, infatti le radici di $t^2+2t-3$ sono appunto $1$ e $-3$.
Dunque deduco che se mi trovo di fronte ad un polinomio di secondo grado del tipo $ax^2+bx+c$ lo posso scomporre in $(x+x_1)*(x+x_2)$ dove $x_1$ e $x_2$ sono le due radici del polinomio, giusto? Correggimi se sbaglio. Se così fosse non c'è bisogno nemmeno di ragionarci troppo per trovare i due numeri $a$ e $b$.
Dunque deduco che se mi trovo di fronte ad un polinomio di secondo grado del tipo $ax^2+bx+c$ lo posso scomporre in $(x+x_1)*(x+x_2)$ dove $x_1$ e $x_2$ sono le due radici del polinomio, giusto? Correggimi se sbaglio. Se così fosse non c'è bisogno nemmeno di ragionarci troppo per trovare i due numeri $a$ e $b$.
"Pianoth":
Non sono sicurissimo (infatti è per quello che ho preferito scrivere "di cui parli") però mi sembra che si chiami metodo di scomposizione del trinomio caratteristico.
Ricordi bene (l'ho studiato l'anno scorso). Più comunemente lo chiamiamo "somma-prodotto". Ne esistono di tre tipi:
- $x^2+bx+c$
-$x^4+bx^2+c$ in cui la $x$ è elevata ad un qualsiasi numero pari
-$ax^2+bx+c$
Quest'ultimo è un po' diverso, metto un esempio per chi non se lo ricordasse:
$2x^2+5x+3$ somma: $5$; prodotto: $3*2=6$ I valori sono: $3$,$2$.
$-> 2x^2+3x+2x+3 -> 2x(x+1)+3(x+1) -> (x+1)(2x+3)$
Effettivamente sembrano cose banali ma poi col proseguo degli anni tendono ad essere rimosse...
"Omar_93":
Ho notato che comunque trovare questi due numeri ...
E' vero, ma quelle soluzioni vanno cambiate di segno e comunque complicheresti i calcoli: io ad esempio userei il primo metodo però la cosa è strettamente personale.
Fai attenzione, la scomposizione del trinomio $ax^2+bx+c$, note $x_1$ e $x_2$ soluzioni dell'equazione di secondo grado associata, è $a(x-x_1)(x-x_2)$, osserva bene il segno che nell'intervento precedente lo hai sbagliato.
"@melia":
Fai attenzione, la scomposizione del trinomio $ax^2+bx+c$, note $x_1$ e $x_2$ soluzioni dell'equazione di secondo grado associata, è $a(x-x_1)(x-x_2)$, osserva bene il segno che nell'intervento precedente lo hai sbagliato.
Dove $a$ è quello della formula dell'equazione di secondo grado?
Esatto, $a$ è il coefficiente di $x^2$. Comunque per il caso $ax^2+bx+c$ io personalmente avevo inventato un metodo meccanico per scomporre molto velocemente, scomponendo nella forma $(ax + t_1)(x + t_2)$. Ti faccio un esempio perché non è immediato da capire senza:
$3x^2-4x-15$. Cerco due numeri il cui prodotto è $-45$ (ovvero $a*c$, $3*(-15)$) e la somma è $-4$ ($b$). I divisori di $-45$ sono relativamente tanti, ma $-4$ è piccolo in confronto a $-45$, quindi i due numeri saranno vicini alla radice quadrata di $45$, che è vicina a $7$. Infatti i due numeri che cerco sono $-9$ e $5$: $(-9)*5 = -45$, $-9+5=-4$. La scomposizione avrà un aspetto simile: $(3x + t_1)(x + t_2)$, dove $t_1$ e $3t_2$ sono i numeri che ho trovato. La scomposizione quindi sarà $(3x+5)(x-3)$. Infatti i numeri che ho trovato sono $-9$ e $5$, e $t_1 = 5$ e $3t_2 = 3*(-3)=-9$. Volendo avrei potuto anche scegliere $t_1 = -9$ e $t_2=5/3$, ma così la scomposizione sarebbe stata $(3x-9)(x+5/3)$, che contiene frazioni.
Se non hai capito niente non importa, comunque ti assicuro che questo metodo permette di scomporre velocissimamente polinomi nella forma $(ax + t_1)(x + t_2)$ (quando è possibile) con un po' di pratica.
$3x^2-4x-15$. Cerco due numeri il cui prodotto è $-45$ (ovvero $a*c$, $3*(-15)$) e la somma è $-4$ ($b$). I divisori di $-45$ sono relativamente tanti, ma $-4$ è piccolo in confronto a $-45$, quindi i due numeri saranno vicini alla radice quadrata di $45$, che è vicina a $7$. Infatti i due numeri che cerco sono $-9$ e $5$: $(-9)*5 = -45$, $-9+5=-4$. La scomposizione avrà un aspetto simile: $(3x + t_1)(x + t_2)$, dove $t_1$ e $3t_2$ sono i numeri che ho trovato. La scomposizione quindi sarà $(3x+5)(x-3)$. Infatti i numeri che ho trovato sono $-9$ e $5$, e $t_1 = 5$ e $3t_2 = 3*(-3)=-9$. Volendo avrei potuto anche scegliere $t_1 = -9$ e $t_2=5/3$, ma così la scomposizione sarebbe stata $(3x-9)(x+5/3)$, che contiene frazioni.
Se non hai capito niente non importa, comunque ti assicuro che questo metodo permette di scomporre velocissimamente polinomi nella forma $(ax + t_1)(x + t_2)$ (quando è possibile) con un po' di pratica.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo