Fattoriale e proprieta' elementare

[gundamrx91-votailprof]

Nel ripasso che sto facendo ora mi sono imbattutto in questa proprieta' elementare dei fattoriali:

se $n>k$, $n!/k!=n(n-1)(n-2)(n-3)....(k+1)$

facendo delle prove pero' c'e' qualcosa che non mi torna; ad esempio $4!/3!=(4*3*2*1)/(3*2*1)=4$ se semplifico gli elementi comuni, pero' se sviluppo quanto sopra indicato ottengo $4*3*2*1*(3+1)=96$

Credo di non aver capito, ma questa non e' una novita'

[salvozungri]

se $n>k$, $(n!)/(k!)=n(n-1)(n-2)(n-3)....(k+1)$

L'errore lo fai quando scrivi:

[...] pero' se sviluppo quanto sopra indicato ottengo $4*3*2*1*(3+1)=96$

Applichi male la formula. Infatti in questo esempio k=3, mentre n=4 di conseguenza k+1=4= n. Perciò $n(n-1)(n-2)(n-3)....(k+1)$ è costituito da un solo fattore che è $k+1=4$. Spero di essere stato chiaro

[gundamrx91-votailprof]

scusate, ragionandoci su poi ho capito che l'ultimo elemento $(k+1)$ indica in pratica l'estremo da considerare per calcolare il fattoriale.
Grazie mathematico per la spiegazione

[gundamrx91-votailprof]

Arieccomi
Stavolta si parla di coefficienti binomiali, argomento attinente ai fattoriali.

Nel Precalculs del Bramanti viene chiesto di dimostrare, per esercizio, che :

$((n),(k))=((n-1),(k-1))+((n-1),(k))$

usando le definizione di coefficiente binomiale $((n),(k))=(n(n-1)(n-2)...(n-k+1))/(k!))$

dovrei poter dimostrare quanto sopra..... solo che non lo capisco.
Qualche dritta??
Grazie

[@melia]

Trasforma i due coefficienti binomiali a secondo membro usando la definizione ed esegui la somma delle due frazioni.

Forse è più conveniente usare l'altra forma della definizione $((n),(k))=(n!)/(k!(n-k)!)$

[G.D.5]

Oppure una bella induzione.

[gundamrx91-votailprof]

"@melia":Trasforma i due coefficienti binomiali a secondo membro usando la definizione ed esegui la somma delle due frazioni.

Forse è più conveniente usare l'altra forma della definizione $((n),(k))=(n!)/(k!(n-k)!)$

Allora, vediamo cosa succede

$((n-1)(n-2)...(n-1-k+1))/((k-1)!)+((n-1)(n-2)..(n-1-k+1))/k!$

e qua gia' mi incasino perche' nella soluzione del libro, il primo membro e': $((n-1)(n-2)...(n-1-k+1+1))/((k-1)!)+...$
in pratica c'e' un 1 in piu'; perche'???

[blackbishop13]

"GundamRX91":
$((n),(k))=((n-1),(k-1))+((n-1),(k))$

usando le definizione di coefficiente binomiale

come ti suggerisce @melia usa la legge dei tre fattoriali:

$((n-1),(k-1))+((n-1),(k))=((n-1)!)/((k-1)!(n-1-k+1)!) + ((n-1)!)/(k!(n-1-k)!)=((n-1)!)/((k-1)!(n-k)!) + ((n-1)!)/(k!(n-k-1)!)=$

$=((n-1)!k)/(k!(n-k)!) + ((n-1)!(n-k))/(k!(n-k)!)=((n-1)!)/(k!(n-k)!) * [k+n-k]=(n(n-1)!)/(k!(n-k)!)=(n!)/(k!(n-k)!)=((n),(k))$

è la cosiddetta Legge di Stifel, che esprime la proprietà del triangolo di Tartaglia secondo cui ogni termine è uguale alla somma dei due sovrastanti.