Fascio di rette proprio o improprio

[-selena-]

Data l'equazione x+2y-3+kx-2yk+k=0
come faccio a capire se è un fascio di rette proprio o improprio ? se non ricordo male c'erano 3 o 4 metodi..grazie!!

[enrico___1]

Per definizione un fascio di rette proprio è un fascio in cui tutte le rette passano per un punto denominato centro del fascio; un fascio di rette improprio è un insieme di rette parallele che hanno uguale il coefficiente angolare.
Per determinare il tipo di fascio è necessario calcolare il coefficiente angolare, dato dalla rapporto

[math]\frac{-b}{a}[/math]

.
Nel caso in cui il rapporto sia un valore che dipende da k ciò significa che è un valore variabile (le rette assumono ciascuna un'inclinazione differente in base al valore di k), nel caso sia un valore numerico allora il fascio è improprio (tutte le rette avranno la stessa inclinazione).

Raccolgo k

[math]
y(2k+2)+x(k+1)+k-3=0
[/math]

Il coefficiente angolare (m) è dato da:

[math]
m=-\frac{k+1}{2(k+1)}
[/math]

[math]
m=\frac{-1}{2}
[/math]

Il fascio di rette è improprio. Le rette che costituiscono questo fascio sono quelle della forma:

[math]
y=-\frac{x}{2}+q
[/math]

:)

[-selena-]

Grazie