Fascio di rette, distanza 2per radice di5 dal punto a

[Ruccetta]

Retta appartenente al fascio (2x+1)+k(2x-5y+11) che dista 2per radice di 5 dal punto A(7/2,0) grazie!

[BIT5]

per prima cosa dobbiamo riscrivere il fascio, moltiplicando:

[math] 2x+1+2kx-5ky+11k=0 [/math]

e raccogliendo secondo le incognite

[math] (2+2k)x-5ky+1+11k=0 [/math]

abbiamo scritto il fascio in forma implicita, secondo la forma canonica

ax+by+c=0

con a=2+2k, b=-5k, c=1+11k

la formula per la distanza punto/retta e'

[math] d= \frac{|ax_P+by_p+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} [/math]

pertanto essendo xP=7/2 e yP=0 , d=2radice5 avremo

[math] 2 \sqrt5 = \frac{|\frac72 (2+2k) +1+11k|}{\sqrt{(2+2k)^2+(-5k)^2}} [/math]

da cui

[math] 2 \sqrt5 = \frac{|7+7k+1+11k|}{\sqrt{(4+8k+4k^2+25k^2}} [/math]

e quindi

[math] 2 \sqrt5 = \frac{|18k+8|}{\sqrt{29k^2+8k+4}} [/math]

minimo comune multiplo

[math] \frac{2 \sqrt5 \sqrt{29k^2+8k+4}}{\sqrt{29k^2+8k+4}} = \frac{|18k+8|}{\sqrt{29k^2+8k+4}} [/math]

posto il denominatore diverso da zero, quindi

[math] 29k^2+8k+4 \no{=} 0 [/math]

che e' sempre verificato (risolvi l'equazione di secondo grado (se lo avete fatto) e vedrai che il delta e' negativo, semplifichi i denominatori

[math] 2 \sqrt5 \sqrt{29k^2+8k+4} = |18k+8| [/math]

sapendo che

[math] \sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab} [/math]

e che

[math] n \sqrt{a} = \sqrt{n^2a} [/math]

a sinistra porti dentro radice il 2 (che diventa 4) e moltiplichi il 5 per 4 per tutto il resto

[math] \sqrt{20(29k^2+8k+4)} = |18k+8| [/math]

quindi

[math] \sqrt{580k^2+160k+80} = |18k+8| [/math]

elevi al quadrato (a sinistra la radice se ne va)

ottieni

[math] 580k^2+160k+80=(18k+8 )^2 \to 580k^2+160k+80=324k^2+288k+64 [/math]

risolvi l'equazione di secondo grado e trovi il/i valore/i di k che sostituito/i al fascio dara'/anno la/e retta/e cercata/e