Fascio di rette 2
scrivi l'equazione della retta appartenente al fascio proprio di rette di centro (1;1) che forma con le rette x+y+1=0 e x=2 un triangolo di area 2
Risposte
Ciao
Allora, innanzitutto bisogna disegnare le rette su un piano. Ovviamente puoi disegnare solo la retta x = 2 e la retta x + y + 1 = 0, dopo averla posta in forma esplicita y = -x -1.
A questo punto disegna il punto (1,1).
Non si può dire nulla osservando semplicemente come sono messi i punti, è necessario procedere con i calcoli.
Allora, innanzitutto scriviamo l'equazione del fascio di rette con centro (1, 1). Come si fa? Si prende l'equazione di una retta generica: y = mx + q, e si impone il passaggio per il punto (1,1). Sostituendo (1,1) all'equazione troviamo:
1 = m*1 + q, quindi q = 1-m. L'equazione del fascio sarà y = mx + 1 - m.
A questo punto dobbiamo costruire il triangolo. Disegnamo una retta qualsiasi appartenente al fascio, che intercetterà la retta x = 2 nel punto A e la retta y = -x -1 nel punto B. Il terzo punto lo chiamiamo C (di coordinate (2, -3)).
Cerchiamo di stabilire le coordinate dei punti A e B, cercando di capire cosa ci interessa veramente.
Per trovare le coordinate di A basta mettere a sistema le due rette interessate, ottenendo così A = (2, m+1). Discorso identico per B, ce diventa B = ((m-2)/(m+1), ...). Non ci interessa l'ordinata di B, e adesso ti spiego perché:
Se osservi bene, noti che il lato AC può essere visto come una base, e, disegnando l'altezza relativa a questa base (che quindi passerà per B) ci accorgiamo di un fatto molto interessante.
Possiamo infatti calcolare l'area del triangolo solamente in base alla lunghezza del lato AC e alla lunghezza dell'altezza passante per B.
Ma il calcolo di queste misure è sempicissimo!
Osserva infatti che AC misura esattamente:
AC = 3 + (m+1)
poiché 3 è la distanza di C dall'asse X, e m+1 è l'"altezza" di A, sempre rispetto all'asse X.
Con lo stesso ragionamento calcoliamo la misura dell'altezza passante per B (la chiamiamo BH):
BH = 2 + ((m-2)/(m+1))
A questo punto imponiamo il vincolo sull'area:
Risolvendo questa equazione (in un paio di passaggi ottieni una equazione di secondo grado) ottieni m = -2.
Spero di averti aiutato ;)
Allora, innanzitutto bisogna disegnare le rette su un piano. Ovviamente puoi disegnare solo la retta x = 2 e la retta x + y + 1 = 0, dopo averla posta in forma esplicita y = -x -1.
A questo punto disegna il punto (1,1).
Non si può dire nulla osservando semplicemente come sono messi i punti, è necessario procedere con i calcoli.
Allora, innanzitutto scriviamo l'equazione del fascio di rette con centro (1, 1). Come si fa? Si prende l'equazione di una retta generica: y = mx + q, e si impone il passaggio per il punto (1,1). Sostituendo (1,1) all'equazione troviamo:
1 = m*1 + q, quindi q = 1-m. L'equazione del fascio sarà y = mx + 1 - m.
A questo punto dobbiamo costruire il triangolo. Disegnamo una retta qualsiasi appartenente al fascio, che intercetterà la retta x = 2 nel punto A e la retta y = -x -1 nel punto B. Il terzo punto lo chiamiamo C (di coordinate (2, -3)).
Cerchiamo di stabilire le coordinate dei punti A e B, cercando di capire cosa ci interessa veramente.
Per trovare le coordinate di A basta mettere a sistema le due rette interessate, ottenendo così A = (2, m+1). Discorso identico per B, ce diventa B = ((m-2)/(m+1), ...). Non ci interessa l'ordinata di B, e adesso ti spiego perché:
Se osservi bene, noti che il lato AC può essere visto come una base, e, disegnando l'altezza relativa a questa base (che quindi passerà per B) ci accorgiamo di un fatto molto interessante.
Possiamo infatti calcolare l'area del triangolo solamente in base alla lunghezza del lato AC e alla lunghezza dell'altezza passante per B.
Ma il calcolo di queste misure è sempicissimo!
Osserva infatti che AC misura esattamente:
AC = 3 + (m+1)
poiché 3 è la distanza di C dall'asse X, e m+1 è l'"altezza" di A, sempre rispetto all'asse X.
Con lo stesso ragionamento calcoliamo la misura dell'altezza passante per B (la chiamiamo BH):
BH = 2 + ((m-2)/(m+1))
A questo punto imponiamo il vincolo sull'area:
Risolvendo questa equazione (in un paio di passaggi ottieni una equazione di secondo grado) ottieni m = -2.
Spero di averti aiutato ;)
grazie mille...
Di niente :)
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