Fascio di rette

[corruzen]

1° difficoltà
Non riesco a risolvere questo problema:
Dato un fascio di rette $alphax-(alpha+2)*y+2-alpha=0$, determinare il punto comune a tutte le rette tra i seguenti:
a)$(0;0)$;
b)$(1;1)$;
c)$(2;2)$;
d)$(2;1)$;
e)$(1;2)$;
Ho provato con la definizione di fascio $->y-y_p=m(x-x_p)$ ma non mi viene in mente un modo per risolverlo, mi sembra che non ci siano dati sufficienti...
Ho anche sostituito ma alla fine mi rimane il parametro e non so cosa farci, devo prima trovare il parametro e cercando di estrarlo in qualche modo dall'equazione e poi sostituire ? suggerimenti ?
2°difficoltà
Determinare "C'è una squadra che ha vinto tutte le partite" in modo tale che sia falsa.
per risolvere questo problema di logica basta dire che "Ogni squadra ha perso almeno una partita"?

Grazie in anticipo per la risposta

[Falco37]

Nel fascio di rette ogni retta ha i punti che soddisfano quell'equazione:
Se un punto appartiene a una retta, sostituendo le coordinate di tale punto nell'equazione della retta, deve venirti fuori l'uguaglianza 0=0. Lo stesso accade nel fascio di rette, se fissi ad esempio alfa e lo fai variare a tuo piacimento, creando così varie rette appartenenti al fascio, vedrai che tutte le rette rispettano l'uguaglianza 0=0 se poni le coordinate (2,1).
La risposta esatta è quindi la D.

[corruzen]

"Falco37":Nel fascio di rette ogni retta ha i punti che soddisfano quell'equazione:
Se un punto appartiene a una retta, sostituendo le coordinate di tale punto nell'equazione della retta, deve venirti fuori l'uguaglianza 0=0. Lo stesso accade nel fascio di rette, se fissi ad esempio alfa e lo fai variare a tuo piacimento, creando così varie rette appartenenti al fascio, vedrai che tutte le rette rispettano l'uguaglianza 0=0 se poni le coordinate (2,1).
La risposta esatta è quindi la D.

Gentilissimo ho capito grazie mille! non avevo pensato a dover scegliere io il parametro
mentre per il secondo punto ha qualche idea?

[teorema55]

La tua risposta al 2° punto è corretta............o almeno una di quelle corrette, peraltro tra loro equivalenti.

[teorema55]

"Falco37":Nel fascio di rette ogni retta ha i punti che soddisfano quell'equazione:
Se un punto appartiene a una retta, sostituendo le coordinate di tale punto nell'equazione della retta, deve venirti fuori l'uguaglianza 0=0. Lo stesso accade nel fascio di rette, se fissi ad esempio alfa e lo fai variare a tuo piacimento, creando così varie rette appartenenti al fascio, vedrai che tutte le rette rispettano l'uguaglianza 0=0 se poni le coordinate (2,1).
La risposta esatta è quindi la D.

Mi permetto di osservare che a una soluzione "per tentativi" sarebbe preferibile una analitica, generale. Vediamo......

[teorema55]

Per esempio.........Falco ha ragione perché, esplicitando l'equazione del fascio, ottengo

$y=a/(a+2)x + (2-a)/(a+2)$

Sostituendo le coordinate dei vari punti nell'equazione in forma esplicita:

Punto $(0,0)$:

dopo semplici calcoli ottengo

$(2-a)/(2+a)=0$

$a=2$

che significa che il fascio passa per (0,0) solo se $a=2$

Allo stesso modo, passa per $(1,1)$ solo se

$a=0$

Passa per $(2,2)$ solo se

$a=-2$

impossibile perché annullerebbe un denominatore

Per $(2,1)$ ottengo

$0=0$

quindi il fascio passa par il punto $(2,1)$ per ogni valore di $a$

Infine passa per $(1,2)$ solo se

$a=-1$

Per inciso, in ognuno dei casi in cui $a$ assume un determinato valore, l'equazione del fascio diventa equazione di una sola retta.

[corruzen]

"teorema55":La tua risposta al 2° punto è corretta............o almeno una di quelle corretta, peraltro tra loro equivalenti.

perfetto grazie ! si era una risposta ad un quesito di logica che ho fatto molto tempo fa di cui però non ricordavo le altre risposte ahah

"teorema55":Per esempio.........Falco ha ragione perché, esplicitando l'equazione del fascio, ottengo

$y=a/(a+2)x + (2-a)/(a+2)$

Sostituendo le coordinate dei vari punti nell'equazione in forma esplicita:

Punto $(0,0)$:

dopo semplici calcoli ottengo

$(2-a)/(2+a)=0$

$a=2$

che significa che il fascio passa per (0,0) solo se $a=2$

Allo stesso modo, passa per $(1,1)$ solo se

$a=0$

Passa per $(2,2)$ solo se

$a=-2$

impossibile perché annullerebbe un denominatore

Per $(2,1)$ ottengo

$0=0$

quindi il fascio passa par il punto $(2,1)$ per ogni valore di $a$

Infine passa per $(1,2)$ solo se

$a=-1$

Per inciso, in ognuno dei casi in cui $a$ assume un determinato valore, l'equazione del fascio diventa equazione di una sola retta.

grazie ancora ! ora ho 2 metodi per risolvere un quesito del genere quindi meglio grazie a tutti per la rispsota