Fascio di parabole (61157)

[G e L]

Dato il fascio di parabole y=(k+1)x^+2kx-3k-1 determina la parabola p del fascio che stacca sulla retta y=5 una corda MN=4

Aggiunto 1 giorni più tardi:

Grazie mille ! :D
Ho solo un dubbio in uno dei primi passaggi, ti trovi (k+1)x^+2kx-3k+4=0 ... Non dovrebbe essere (k+1)x^+2kx-3k-6=0 ??? :/

[BIT5]

Il fascio e'

[math] y=(k+1)x^2+2kx-3k-1 [/math]

Esso interseca la retta y=5 nei punti di ascissa:

[math] 5=(k+1)x^2+2kx-3k-1 \to (k+1)x^2+2kx-3k+4=0 [/math]

Risolviamo l'equazione (siccome il coefficiente di x e' 2k quindi pari, uso la ridotta)

[math] x_{1,2}= \frac{-k \pm \sqrt{k^2-(k+1)(4-3k)}}{k+1} [/math]

[math] x_{1,2}= \frac{-k \pm \sqrt{k^2-4k+3k^2-4+3k}}{k+1} [/math]

[math] x_{1,2}= \frac{-k \pm \sqrt{4k^2-k-4}}{k+1} [/math]

Le due ascisse trovate (in funzione di k) sono le ascisse dei punti di intersezione tra il fascio di parabole e la retta.

Questi due punti avranno, qualunque sia il valore di k, ordinata y=5, in quanto stanno appunto sulla retta y=5 (parallela all'asse x)

Pertanto la distanza tra questi due punti sara' semplicemente la differenza delle ascisse. Questa distanza dovra' essere = 4, quindi

[math] \frac{-k+ \sqrt{\Delta}+k+ \sqrt{\Delta}}{k+1}=4 [/math]

Con

[math] k \ne -1 [/math]

[math] 2 \sqrt{\Delta} = 4k+4 [/math]

Eleviamo al quadrato

[math] 4 (4k^2-k-4) = 4(4k+4) [/math]

Risolvi

[math] 4k^2-k-4=4k+4 [/math]

Risolvi e trovi i valori di k che soddisfano l'equazione e che, sostituiti alla parabola, daranno le parabole cercate.