Fascio di iperboli con parametro k. Trovare k assunta una condizione

[alci1212]

Trova per quali valori di K l'equazione
(2k-1)x^2+(k-3)y^2=k rappresenta un'iperbole con distanza focale 4*radquad(2/3).
Io ho giá trovato che l'equazione è un'iperbole per 1/2

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Dunque, data l'equazione di secondo grado

[math](2k - 1)x^2 + (k - 3)y^2 - k = 0[/math]

,
essa rappresenta una iperbole se e solo se

[math]\small -4(2k - 1)(k - 3) > 0 \Leftrightarrow \; \frac{1}{2} < k < 3\\[/math]

.

Assodato ciò, possiamo permetterci di riscriverla così:

[math]\frac{2k - 1}{k}x^2 - \frac{3 - k}{k}y^2 = 1[/math]

ossia

[math]\frac{x^2}{\frac{k}{2k - 1}} - \frac{y^2}{\frac{k}{3-x}} = 1[/math]

.
Imponiamo dunque la distanza focale uguale a quella richiesta:

[math]2\sqrt{\frac{k}{2k-1} + \frac{k}{3-k}}=4\sqrt{\frac{2}{3}} \Leftrightarrow \; k = \frac{12}{19}\,\vee k = 2[/math]

,
che risultano entrambe accettabili. Chiaro? :)