Fascio di circonferenze
Leggo sul Dodero-Baroncini-Manfredi, Moduli di lineamenti di matematica B, Ghisetti e Corvi 2006, che date due circonferenze non concentriche
$δ: x^2 + y^2 + αx + βy + γ = 0;
δ_1: x^2 + y^2 + α_1 x + β_1 y + γ_1 =0$
esiste l'asse radicale, e si può scrivere la combinazione lineare delle due equazioni $δ$ e $δ_1$:
$ x^2 + y^2 + αx + βy + γ +k(x^2 + y^2 + α_1 x + β_1 y + γ_1) =0$
con $k$ parametro reale.
Non riesco a capire da dove viene il $k$.
Il mio ragionamento è che $f(x)=0 \Leftrightarrow kf(x)=0 ^^ k !=0$, ma questo non spiega alcune cose:
1) come mai si è messo il parametro solo su $δ$ e non anche su $δ_1$? Nel fascio di rette generato da due rette si fa così, affinché il fascio rappresenti tutte le rette passanti per il punto.
2) come mai non si precisa $k!=0$?
Inoltre, dire che le due circonferenze non debbano essere concentriche serve solo per avere un asse radicale in mezzo ai due centri?
Se le due rette sono concentriche, l'algoritmo non restituisce comunque un fascio di circonferenze?
$δ: x^2 + y^2 + αx + βy + γ = 0;
δ_1: x^2 + y^2 + α_1 x + β_1 y + γ_1 =0$
esiste l'asse radicale, e si può scrivere la combinazione lineare delle due equazioni $δ$ e $δ_1$:
$ x^2 + y^2 + αx + βy + γ +k(x^2 + y^2 + α_1 x + β_1 y + γ_1) =0$
con $k$ parametro reale.
Non riesco a capire da dove viene il $k$.
Il mio ragionamento è che $f(x)=0 \Leftrightarrow kf(x)=0 ^^ k !=0$, ma questo non spiega alcune cose:
1) come mai si è messo il parametro solo su $δ$ e non anche su $δ_1$? Nel fascio di rette generato da due rette si fa così, affinché il fascio rappresenti tutte le rette passanti per il punto.
2) come mai non si precisa $k!=0$?
Inoltre, dire che le due circonferenze non debbano essere concentriche serve solo per avere un asse radicale in mezzo ai due centri?
Se le due rette sono concentriche, l'algoritmo non restituisce comunque un fascio di circonferenze?
Risposte
Scusate tantissimo! 
Se avessi letto sotto e affianco, il libro spiega che con quell'equazione non si può ottenere la $δ_1$, e che ponendo $K=m/n$ l'equazione diventa
$n(x^2+y^2+αx+βy+γ)+m(x^2+y^2+α_1 x+β_1 y+γ_1)=0$
che descrive tutte le circonferenze del fascio. compresa $δ_1$.
A questo punto mi chiedo soltanto perché il libro parta dal k, per poi dire che può essere considerato come $m/n$, per poi considerare il caso in cui $n=0$.
Mi sembra che il ragionamento vada fatto al contrario: abbiamo due coefficienti m ed n; se n è diverso da 0, possiamo porre $k=m/n$, ma ovviamente così non descrive la circonferenza con $n=0$; inoltre si vede chiaramente che se m ed n sono opposti (e $k=-1$) l'equazione descrive una retta (l'asse radicale).
A questo punto chiedo se qualcuno sa come mai si dice di prendere due circonferenze non concentriche.
Immagino che se le circonferenze fossero concentriche, all'aumentare di k il fascio si avvicini sempre più alla retta che sarebbe l'asse radicale, per poi tornare indietro. Quindi non coprirebbe tutto il piano ma solo un semipiano. E' così?
Se avessi letto sotto e affianco, il libro spiega che con quell'equazione non si può ottenere la $δ_1$, e che ponendo $K=m/n$ l'equazione diventa
$n(x^2+y^2+αx+βy+γ)+m(x^2+y^2+α_1 x+β_1 y+γ_1)=0$
che descrive tutte le circonferenze del fascio. compresa $δ_1$.
A questo punto mi chiedo soltanto perché il libro parta dal k, per poi dire che può essere considerato come $m/n$, per poi considerare il caso in cui $n=0$.
Mi sembra che il ragionamento vada fatto al contrario: abbiamo due coefficienti m ed n; se n è diverso da 0, possiamo porre $k=m/n$, ma ovviamente così non descrive la circonferenza con $n=0$; inoltre si vede chiaramente che se m ed n sono opposti (e $k=-1$) l'equazione descrive una retta (l'asse radicale).
A questo punto chiedo se qualcuno sa come mai si dice di prendere due circonferenze non concentriche.
Immagino che se le circonferenze fossero concentriche, all'aumentare di k il fascio si avvicini sempre più alla retta che sarebbe l'asse radicale, per poi tornare indietro. Quindi non coprirebbe tutto il piano ma solo un semipiano. E' così?
Il Dodero sui fasci di coniche in generale fa un a grande confusione, suddividendo in una miriade di sottocasi.
Nello specifico se prendi due circonferenze concentriche non puoi parlare di asse radicale, in quanto con $k=-1$ ottieni
$γ-γ_1=0$ che è impossibile, a meno che le due circonferenze non coincidano in tal caso $γ=γ_1$ è una identità che vale su tutto il piano.
Nello specifico se prendi due circonferenze concentriche non puoi parlare di asse radicale, in quanto con $k=-1$ ottieni
$γ-γ_1=0$ che è impossibile, a meno che le due circonferenze non coincidano in tal caso $γ=γ_1$ è una identità che vale su tutto il piano.
Grazie @melia. Sto leggendo il Dodero perché è quello che avevo alle superiori e mi sembra particolarmente rigoroso. Tu cosa mi consiglieresti? La mia preferenza sarebbe quella di leggere una trattazione più generale possibile.
Vedo che fa molta confusione anche sulla tangenza. Dice che una retta e una conica sono tangenti se il sistema ha una soluzione (p. 118). In realtà non c'è solo questa condizione.
Grazie. Per qualche ragione ero convinto che due circonferenze fossero concentriche se trovavano l'una all'interno dell'altra. Invece adesso ho letto che sono concentriche se hanno lo stesso centro.
Nel caso in cui una circonferenza sia interna all'altra, l'asse radicale dovrebbe essere esterno ad esse.
Usando Geogebra vedo che per $k$ tendente a infinito la circonferenza coincide con la circonferenza generatrice interna. Da quel valore fino a $k=0$ la circonferenza diventa sempre più simile alla circonferenza generatrice esterna, e per $k=0$ coincide con la circonferenza generatrice esterna. Da quel valore fino a $k=-1$ diventa sempre più simile all'asse radicale, e per $k=-1$ coincide con l'asse radicale.
Dopodiché sembra che la circonferenza si comporti in maniera del tutto speculare dalla parte del piano oltre l'asse radicale. Diminuendo ancora a un certo punto la circonferenza sparisce, poi non si vede per un po' di valori, e diminuendo ancora di più riappare all'interno della circonferenza generatrice interna, e sembra che per $k$ che tende a meno infinito coincida nuovamente con essa.
Era possibile capire queste cose senza usare GeoGebra e senza farsi delle simulazioni a mano?
Vedo che fa molta confusione anche sulla tangenza. Dice che una retta e una conica sono tangenti se il sistema ha una soluzione (p. 118). In realtà non c'è solo questa condizione.
Nello specifico se prendi due circonferenze concentriche non puoi parlare di asse radicale
Grazie. Per qualche ragione ero convinto che due circonferenze fossero concentriche se trovavano l'una all'interno dell'altra. Invece adesso ho letto che sono concentriche se hanno lo stesso centro.
Nel caso in cui una circonferenza sia interna all'altra, l'asse radicale dovrebbe essere esterno ad esse.
Usando Geogebra vedo che per $k$ tendente a infinito la circonferenza coincide con la circonferenza generatrice interna. Da quel valore fino a $k=0$ la circonferenza diventa sempre più simile alla circonferenza generatrice esterna, e per $k=0$ coincide con la circonferenza generatrice esterna. Da quel valore fino a $k=-1$ diventa sempre più simile all'asse radicale, e per $k=-1$ coincide con l'asse radicale.
Dopodiché sembra che la circonferenza si comporti in maniera del tutto speculare dalla parte del piano oltre l'asse radicale. Diminuendo ancora a un certo punto la circonferenza sparisce, poi non si vede per un po' di valori, e diminuendo ancora di più riappare all'interno della circonferenza generatrice interna, e sembra che per $k$ che tende a meno infinito coincida nuovamente con essa.
Era possibile capire queste cose senza usare GeoGebra e senza farsi delle simulazioni a mano?
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