FASCI DI RETTE. Valori del parametro e rette generatrici

[vale9319]

Ciao... non riesco a "decifrare" le ultime righe della spiegazione dei fasci.
Ho un fascio e due generatrici a e b.-----> a+kb=0
a appartiene al fascio.
b non appartiene.
per k=0 ottengo la generatrice a
mentre non posso ottenere la generatrice b perchè 1/k(a)+b=0
a non si annulla per nessun valore di k.
Ora...è corretto dire che le rette del fascio tendono alla generatrice b per valore molto piccoli di 1/k, quindi per un k tendente all'infinto?
Riuscireste a spiegarmi questa frase?

Se il parametro k si avvicina allo 0 assumendo comunque valori positivi o negativi, le rette del fascio tendono alla generatrice a mentre se a k assegnamo valori sempre maggiori in valore assoluto allora le rette si avvicinano (molto lentamente) alla seconda generatrice che non appartiene al fascio.

Grazie mille

[redlex91-votailprof]

Prese le generatrici del fascio $r_1:a_1x+b_1y+c_1=0$ e $r_2:a_2x+b_2y+c_2=0$ ne facciamo la combinazione lineare:

$h_1(a_1x+b_1y+c_1)+h_2(a_2x+b_2y+c_2)=0$

Poiché i coefficienti non possono essere contemporaneamente nulli è lecito porre $h_1\ne0$ e dividere per lo stesso:

$(a_1x+b_1y+c_1)+h_2/h_1(a_2x+b_2y+c_2)=0$

Posto $h_2/h_1=\lambda$ risulta:

$(a_1x+b_1y+c_1)+\lambda(a_2x+b_2y+c_2)=0$

Ora per $h_2=0 \rArr \lambda=0$ si ottiene la prima generatrice $r_1:a_1x+b_1y+c_1=0$, mentre per $h_1=0$ si otterrebbe la seconda, ma siccome abbiamo posto $h_2/h_1=\lambda$ e non possiamo dividere un numero per $0$ dobbiamo vedere il comportamento di $h_2/h_1=\lambda$ per $h_1$ che si avvicina a $0$:
ad esempio se $h_1=1/1000000 \rArr \lambda=1000000$, se $h_1=1/10000000000$ allora $lambda=10000000000$, pertanto possiamo dire che più $h_1$ si avvicina al valore $0$ più $\lambda$ "diventa grande" ossia si avvicina all'infinito: in conclusione per "nessun valore di $\lambda$" cioè per $\lambda\to\oo$ otteniamo $r_2:a_2x+b_2y+c_2=0$.

Preso $A+kB=0$ allora:
per $k=0$ ottieni $A$;
$1/kA+B=0$: siccome vogliamo $B$ e $1/k$ non sarà mai $0$ diamo a $k$ dei valori grandissimi in modo che $1/k$ si avvicini quanto più possibile al valore $0$, pertanto $B$ la otteniamo per $k\to\oo$.
Non so se mi sono spiegato.
Prendiamo un esempio pratico:
$2x-y+k(x-y)=0$
per $k=0$ otteniamo la prima generatrice $r:2x-y=0$
ed ora diamo valori sempre più grandi a $k$ così da avvicinarci alla generatrice:
$k=5$ allora $y=7/6x$, $k=-5$ allora $y=3/4x$$;
$k=50$ allora $y=52/51x$, $k=-50$ allora $y=48/49x$;
$k=500$ allora $y=502/501x$, per $k=-500$ allora $y=498/499x$.
...
$k\to\oo$ otteniamo la seconda generatrice $y=x$ (in rosso ma è coperta dalle altre rette).

[asvg]axes(); // visualizza gli assi
stroke="red"; // seleziona il colore rosso
plot("2x");
stroke="red"; // seleziona il colore verde
plot("x");
stroke="blue";
plot("(7/6)*x");
plot("52/51x");
plot("502/501x");
plot("3/4x");
plot("48/49x");
plot("498/499x");[/asvg]