Fasci di parabole

[mirk95]

Vi prego, non mi vogliate male... ma dopo a questo vi lascio in pace... Non riesco a calcolare la concavità di un fascio!!! e non riesco neanche a trovare le parabole degeneri!!!
Vi pongo il problema...
Considera il fascio di parabole di equazione: (m+1)y^2+(m-1)x+2(m-1)y=0
e studia le sue principali caratteristiche. Determina poi:
a) la parabola del fascio passante per il punto (2;-2).
b) la parabola del fascio tangente alla retta x-2y-2=0
c) la parabola del fascio che intercetta sul semiasse positivo delle ordinate un segmento di lunghezza 2.
Grazie, ma grazie tante...

[Ali Q]

Ciao, Mirko! Innanzi tutto determino le caratteristiche principali del fascio:

[math](m+1)y^2+(m-1)x+2(m-1)y=0[/math]

Mettiamo l'equazione in forma ESPLICITA:

[math](m+1)y^2+2(m-1)y= -(m-1)x[/math]

[math]-(m+1)y^2-2(m-1)y=(m-1)x[/math]

[math]-(m+1)/(m-1)y^2-2y=x[/math]

Le caratteristiche principali di questo fascio di parabole sono:
1) Sono parabole ad asse orizzontale;

2) Il VERTICE ha coordinate:

[math] [(4ac-b^2)/4a ; -b/2a], [/math]

ovvero:

[math](4ac-b^2)/4a = -4/-4[(m+1)/(m-1] = (m-1)/(m+1)[/math]

[math]-b/2a = 2/-2[(m+1)/(m-1)] = -(m-1)/(m+1)[/math]

3) ASSE:

[math]y = -b/2a = -(m-1)/(m+1)[/math]

4) DIRETTRICE:

[math]-(1+b^2-4ac)/4a = -(1+4)/-4[(m+1)/m-1)] =[/math]

[math]5(m-1)/4(m+1)[/math]

5) FUOCO di coordinate:

[math][(1-b^2+4ac)/4a; -b/2a][/math]

[math](1-b^2+4ac)/4a = (1-4)/-4[(m+1/m-1)] = 3(m-1)/4(m+1)[/math]

[math]-b/2a = (-m-1)/(m+1)[/math]

6) Dato il segno negativo di y^2, la concavità è rivolta verso sinistra.

7) Il fascio taglia gli assi nei seguenti punti:

[math]y=0[/math]

allora

[math]x =0[/math]

(il fascio passa per l'origine.

[math]x=0[/math]

allora

[math]-(m+1)/(m-1)y^2-2y=0[/math]

[math]y[-(m+1)/(m-1)y-2]=0[/math]

Quindi o y

[math]=0[/math]

oppure

[math]-(m+1)/(m-1)y-2 =0[/math]

,
quindi

[math]y= -2/[(m+1)/(m-1)]= -2(m-1)/(m+1)[/math]

.

Un attimo di pazienza e risolvo anche il resto. Ciao!

Aggiunto 7 minuti più tardi:

PRIMA DOMANDA: determinare la parabola passante per il punto (2,-2)

Nell'equazione del fascio, dunque, sostituisco ad x e y i valori di 2 e -2: l'uguglianaza dovrà essere ancora rispettata.

[math](m+1)y^2+(m-1)x+2(m-1)y=0[/math]

[math](m+1)(-2)^2+(m-1)2+2(m-1)(-2)=0[/math]

[math](m+1)4 +(m-1)2-4(m-1)=0[/math]

[math]4m+4 +2m-2-4m +4=0[/math]

[math]2m+ 6=0[/math]

[math]m+ 3=0[/math]

[math]m=-3[/math]

L'equazione diventa dunque:

[math](-3+1)y^2+(-3-1)x+2(-3-1)y=0[/math]

[math]-2y^2 -4 x -8y=0[/math]

[math]-y^2 -2 x -4y=0[/math]

[math]-y^2 -4y= +2x[/math]

[math]x = -1/2y^2 -2y [/math]

[bimbozza]

a) se passa per quel punto basta sostituire le coordinate del punto nel fascio.

[math](m+1)(-2)^2+(m-1)(2)+2(m-1)(-2)=0[/math]

[math](m+1)4+(m-1)(2)+2(m-1)(-2)=0[/math]

[math]4m+4+2m-2-4m+4=0[/math]

[math]2m+6=0[/math]

[math]m=-3[/math]

quindi l'equazione cercata è

[math](-3+1)y^2+(-3-1)x+2(-3-1)y=0[/math]

[math]-2y^2-4x-8y=0[/math]

--------------------------------------------------------------------
b)mettiamo in sistema l'equazione del fascio e la retta ed imponiamo la condizione di tangenza (discriminante=0)

[math]
\left{
(m+1)y^2+(m-1)x+2(m-1)y=0\\
x-2y-2=0\\
[/math]

[math]
\left{
(m+1)y^2+(m-1)x+2(m-1)y=0\\
x=2y+2\\
[/math]

[math]
\left{
(m+1)y^2+(m-1)(2y+2)+2(m-1)y=0\\
x=2y+2\\
[/math]

[math]
\left{
(m+1)y^2+2(m-1)y +2(m-1)+2(m-1)y=0\\
x=2y+2\\
[/math]

[math]
\left{
(m+1)y^2+4(m-1)y +2(m-1)=0\\
x=2y+2\\
[/math]

la prima è un'equazione di secondo grado con discriminante pari a

[math](2m-2)^2-(m+1)(2m-2)[/math]

svolgiamo i calcoli ed imponiamo la tangenza

[math]4m^2+4-8m-2m^2+2m-2m+2=0[/math]

[math]2m^2-8m+6=0[/math]

[math]m^2-4m+3=0[/math]

[math](m-3)(m-1)=0[/math]

quindi le soluzioni sono m=3 e m=1


a questo punto li sostituisci come nell'esercizio a) nel fascio a trovi le parabole cercate
-------------------------------------------------
c)mettiamo in sistema il fascio con l'asse delle ordinate

[math]
\left{
(m+1)y^2+(m-1)x+2(m-1)y=0\\
x=0\\
[/math]

[math]
\left{
(m+1)y^2+2(m-1)y=0\\
x=0\\
[/math]

[math]
\left{
y((m+1)y+2(m-1))=0\\
x=0\\
[/math]

le prima equazione ha due soluzioni: la prima è y=0 la seconda è data da

[math](m+1)y+2(m-1)=0[/math]

[math]y= \frac{-2(m-1)}{m+1}[/math]

adesso dobbiamo calcolare la distanza tra i due punti e imporre loro che sia uguale a 2. Essendo due punti con la stessa ascissa, si usa la formula semplificata della distanza tra due punti

[math]distanza=y1-y0=\frac{-2(m-1)}{m+1}-0=2[/math]

per m diverso da -1 si ha

[math] -2m+2=2m+2[/math]

che ha soluzione m=0

quindi, anche in questo caso si sostituisce nel fascio e si ha

[math]y^2-x-2=0[/math]

[Ali Q]

SECONDA DOMANDA: La parabola tangente alla retta

[math]x-2y-2=0[/math]

Mettiamo entrambe le espressioni in forma canonica:

[math]-(m+1)/(m-1)y^2-2y= x[/math]

[math]x= 2y+2[/math]

Metto a sistema le due equazioni:

[math]2y+2 = -(m+1)/(m-1)y^2-2y[/math]

[math]0= -(m+1)/(m-1)y^2-4y -2[/math]

Perchè retta e parabola siano tangenti, occorre che il determinante di questa equazione di secondo grado sia pari a 0. Infatti questo implica che la soluzione sia unica e che parabola e retta si tocchino in un solo punto (condizione di tangenza).

[math]Determinante = b^2 -4ac = 16 -8(m+1)/(m-1) = 0[/math]

[math]2 -(m+1)/(m-1) = 0[/math]

[math](m+1)/(m-1) = 2[/math]

[math](m+1) = 2 (m-1)[/math]

[math](m+1) = 2 m-2[/math]

[math]-m = -3[/math]

[math]m = 3[/math]

L'equazione è dunque:

[math]-(3+1)/(3-1)y^2-2y= x[/math]

[math]-4/2y^2-2y= x[/math]

[math]-2y^2-2y= x[/math]