Fasci di parabole

[Elix29]

Studia il fascio di parabole di equazione (1+m)x^2-4x+(1-m)y+3-m=0 e trova per quale valore di m si ottiene la parabola del fascio passante per l'origine.
Risultato: tangenti alla retta y=2x-2 in T(1;0), deg. per m=+/- 1, m=3

Non riesco a capire come fare, quel parametro prima della y mi mette in crisi. Grazie mille in anticipo

[@melia]

Se nel fascio $(1+m)x^2-4x+(1-m)y+3-m=0$ vuoi capire quali sono le invarianti, cioè le cose che valgono per ogni $m$, devi rendere indeterminata l'equazione rispetto all'incognita $m$:
$m(x^2-y-1)=-x^2+4x-y-3$ che risulta indeterminata solo se
$\{(x^2-y-1 = 0),(-x^2+4x-y-3 = 0):}$ il sistema ammette la soluzione doppia $\{(x_1=x_2 = 1),(y_1=y_2 = 0):}$ questo significa che tutte le parabole del fascio passano per $P(1, 0)$ e che in quel punto hanno la stessa tangente, per trovare la retta tangente conviene trovare la retta appartenente al fascio, ovvero quella che si ottiene eliminando il termine in $x^2$. La cosa si può ottenere ponendo $1+m=0 =>m=-1$, con $m=-1$ se ne va il termine in $x^2$ e rimane la retta $-4x-2y+4=0 =>y=-2x+2$.

Il fascio contiene anche un'altra retta, infatti per $m=1$ sparisce il termine in $y$ e rimane $2x^2-4x+2=0 => x^2-2x+1=0 => (x-1)^2=0$ che non è altro che la retta $x=1$ contata due volte

Riassumendo
il fascio rappresenta le curve che sono tangenti alla retta $y=-2x+2$ nel punto $P(1, 0)$. Le curve sono delle parabole se $m !=+-1$.

Poi trovare tra queste la parabola passante per l'origine, ormai, è semplice: l'equazione deve essere verificata in $(0, 0)$

[Elix29]

Graziee mille