Fasci di circonferenze
Considerate due circonferenze esterne, facendo la loro combinazione otteniamo un fascio di circonferenze, ma queste circonferenze cosa hanno in comune? I loro centri stanno sulla stessa retta, (è un cosa detta così ) Grazie
Risposte
Se le circonferenze sono esterne secondo me non hanno niente in comune, io ho sempre parlato di fasci soltanto con circonferenze concentriche
No, walter89: si parla di fascio anche con circonferenze secanti, tangenti o senza punti in comune e la domanda di maria60 si riferiva a queste ultime. Anche in questo caso ci sono proprietà che accomunano la circonferenze, ma non sono visibili a colpo d'occhio; inoltre confesso di non ricordarle e speravo che qualcun altro rispondesse. Cito solo quelle più ovvie: esistono la retta dei centri e l'asse radicale, fra loro perpendicolari; nessuna circonferenza ne incontra un'altra e cercando le intersezioni di due qualsiasi di esse si trovano le stesse soluzioni, ma complesse (in altre parole, tutte le circonferenze del fascio passano per gli stessi due punti complessi). Ricordo che c'era una costruzione con la quale si ricavavano le circonferenze del fascio partendo da quelle basi, ma non quale era: so solo che non era semplicissima.
"giammaria":
Ricordo che c'era una costruzione con la quale si ricavavano le circonferenze del fascio partendo da quelle basi, ma non quale era: so solo che non era semplicissima.
Uhm? A cosa alludi?
Avevo premesso di non ricordare; dopo la domanda di Seneca, ho scartabellato i miei libri e trovato alcune risposte, ma richiedono pagine di teoria. Non cito il libro in questione perché, stampato nel 1962, è quasi certamente fuori commercio; mi limito a stralciarne qualche parte, non necessariamente in ordine di trattazione rigorosa.
Si dice potenza di un punto rispetto ad una circonferenza il prodotto dei due segmenti di una stessa retta passante per il punto compresi fra il punto e le intersezioni fra retta e circonferenza (se il punto è esterno, il quadrato del segmento di tangente). In analitica, la potenza si calcola rapidamente sostituendo le coordinate del punto nell'equazione della circonferenza in forma canonica (se il punto è interno alla circoferenza, la potenza ha il segno meno).
Asse radicale di un fascio è il luogo geometrico dei punti con la seguente proprietà: “Tutti e soli i punti dell'asse hanno la stessa potenza rispetto a qualsiasi circonferenza del fascio” (non fraintendete: la potenza è costante al variare della circonferenza ma non al variare del punto). Il libro di cui parlo fa in realtà il cammino inverso, usando questa proprietà per definire un fascio di circonferenze.
Se le circonferenze date come basi del fascio non si incontrano, si può trovare un punto P dell'asse radicale con questa costruzione: tracciare una terza circonferenza che intersechi le due date, la prima in M e N e la seconda in M' e N': P è l'intersezione di MN e M'N'.
Dati l'asse radicale e una circonferenza del fascio, da queste proprietà si può dedurre un legame fra posizione del centro C e raggio R di qualsiasi circonferenza del fascio: preso un punto P sull'asse, si tracci PT tangente alla circonferenza data (quindi uguale alla radice della potenza): PC è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo di cateti PT e R.
Si dice potenza di un punto rispetto ad una circonferenza il prodotto dei due segmenti di una stessa retta passante per il punto compresi fra il punto e le intersezioni fra retta e circonferenza (se il punto è esterno, il quadrato del segmento di tangente). In analitica, la potenza si calcola rapidamente sostituendo le coordinate del punto nell'equazione della circonferenza in forma canonica (se il punto è interno alla circoferenza, la potenza ha il segno meno).
Asse radicale di un fascio è il luogo geometrico dei punti con la seguente proprietà: “Tutti e soli i punti dell'asse hanno la stessa potenza rispetto a qualsiasi circonferenza del fascio” (non fraintendete: la potenza è costante al variare della circonferenza ma non al variare del punto). Il libro di cui parlo fa in realtà il cammino inverso, usando questa proprietà per definire un fascio di circonferenze.
Se le circonferenze date come basi del fascio non si incontrano, si può trovare un punto P dell'asse radicale con questa costruzione: tracciare una terza circonferenza che intersechi le due date, la prima in M e N e la seconda in M' e N': P è l'intersezione di MN e M'N'.
Dati l'asse radicale e una circonferenza del fascio, da queste proprietà si può dedurre un legame fra posizione del centro C e raggio R di qualsiasi circonferenza del fascio: preso un punto P sull'asse, si tracci PT tangente alla circonferenza data (quindi uguale alla radice della potenza): PC è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo di cateti PT e R.
Grazie della ricerca. E' interessante ciò che hai riportato! Più tardi rileggo il tutto con più attenzione.
C'è un approccio puramente analitico, in opposizione a quello geometrico (bello) di giammaria, sul libro Elementary Euclidean Geometry: An Undergraduate Introduction di C.G. Gibson, §3.7 pag. 27: Pencils of Circles ("Fasci di circonferenze"). Sono un paio di paginette, in inglese e ad un livello di primo anno di università.
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