Famiglia di curve

[Marcel1]

Quando abbiamo una funzione nella quale è presente un parametro come si fa a stabilire se esistono dei punti per i quali passano tutte le curve appartententeia tale famiglia e come si fa a trovare le loro coordinate??
grazie

[@melia]

Devi ricostruire l'equazione come se il parametro fosse l'incognita e rendere indeterminata tale equazione.
Ti faccio un esempio, supponi di avere la famiglia di curve $(k-2)x^2+2kx-(k+1)y+5-k=0$, moltiplicando ottengo $kx^2-2x^2+2kx-ky-y+5-k=0$, poi raccolgo il k ottenendo $k(x^2+2x-y-1)+5-2x^2-y=0$
se adesso penso all'equazione come se fosse nell'incognita k questa diventa indeterminata solo se il coefficiente di k e il termine noto si annullano contemporaneamente, quindi se $\{(x^2+2x-y-1 = 0),(5-2x^2-y=0):}$

Procedendo in modo più semplice puoi assegnare a k due valori, quelli che vuoi, risolvere il sistema che ottieni e poi verificare se le soluzioni ottenute rendono indeterminata l'equazione della famiglia di curve.

[Marcel1]

grazie mille, scusa posso chiederti un'altra cosa cosi evuto anche di aprire un'altro topic
quale è il procedimento per calcolare l'equazione delle retta tangente ad una curva e passanti per un punto esterno ad essa??

[@melia]

Se la curva è una conica non ci sono grossi problemi, basta mettere a sistema il fascio di rette passante per il punto e la conica, ottieni un sistema di secondo grado del quale ti ricavi l'equazione di secondo grado associata. La condizione di tangenza è che tale equazione ammetta due soluzioni coincidenti, che di solito si ricavano ponendo $Delta=0$
Ci sono anche alcuni casi particolari che si possono risolvere direttamente senza ricorrere al sistema.

Nel caso in cui le curve non siano delle coniche il problema è assai più complicato.