Exp
Ciao a tutti,
ho difficoltà a comprendere l'esponenziale. Non capisco perchè tutto viene elevato ad una certa potenza o formula, e la base è l'esponenziale,es. la formula per calcolare la carica di un condensatore è: V(1-e^-t/rc).
Insomma,perchè deve essere un numero come 2,71... come base, fisso.
Grazie
chip
ho difficoltà a comprendere l'esponenziale. Non capisco perchè tutto viene elevato ad una certa potenza o formula, e la base è l'esponenziale,es. la formula per calcolare la carica di un condensatore è: V(1-e^-t/rc).
Insomma,perchè deve essere un numero come 2,71... come base, fisso.
Grazie
chip
Risposte
Ahi ahi ahi, un quesito davvero degno di nota.
Lo spazio sarebbe poco e il tempo che ho a disposizione ancora meno.
Se stasera, quando torno a casa, non ha ancora risposto nessuno, cerchero' di spiegartelo, ora sono un po' preso.
Lo spazio sarebbe poco e il tempo che ho a disposizione ancora meno.
Se stasera, quando torno a casa, non ha ancora risposto nessuno, cerchero' di spiegartelo, ora sono un po' preso.
Quel numero $e$ viene fuori come soluzione dell'equazione differenziale tramite il metodo di Langrange et similia.
"giuseppe87x":
Quel numero $e$ viene fuori come soluzione dell'equazione differenziale tramite il metodo di Langrange et similia.
E cioè?
Data un'equazione differenziale del tipo
$y^{\prime}=a(x)y+b(x)$
la soluzione è, per la legge di Lagrange:
$e^(A(x))intb(x)e^(-A(x))dx$ con $A(x)$ primitiva di $a(x)$.
In alternativa si possono utilizzare i numeri complessi.
Dato un circuito RC costituito da un generatore di f.e.m., una resistenza R e una capacità C, applicando la II legge di Kirchhoff al circuito otteniamo un'equazione che ha la stessa forma di quella precedente e che puà essere pertanto risolta con la legge di Lagrange. Da qui il numero $e$.
In particolare, si dimostra, risolvendo l'equazione differenziale, che la carica in funzione del tempo è data da
$q=VC(1-e^(-t/(RC)))$
$y^{\prime}=a(x)y+b(x)$
la soluzione è, per la legge di Lagrange:
$e^(A(x))intb(x)e^(-A(x))dx$ con $A(x)$ primitiva di $a(x)$.
In alternativa si possono utilizzare i numeri complessi.
Dato un circuito RC costituito da un generatore di f.e.m., una resistenza R e una capacità C, applicando la II legge di Kirchhoff al circuito otteniamo un'equazione che ha la stessa forma di quella precedente e che puà essere pertanto risolta con la legge di Lagrange. Da qui il numero $e$.
In particolare, si dimostra, risolvendo l'equazione differenziale, che la carica in funzione del tempo è data da
$q=VC(1-e^(-t/(RC)))$
Il numero e è definito come $ lim_(x rarr +00) (1+1/x)^x $ e vale 2.718.....(numero irrazionale ) ed è usato come base dei logaritmi naturali .
Camillo
Camillo
$e$ è un numero irrazionale trascendente (quindi piuttosto strano, come $\pi$) ma particolarmente adatto per rappresentare fenomeni di crescita (colture di batteri, cariche nei condensatori, montanti bancari, masse di sostanze radioattive, ecc.).
Se hai già fatto qualcosa di Analisi, una possibile spiegazione della sua utilità è questa. Tu sai che le derivate delle funzioni esponenziali (cioè quelle del tipo $f(x)=b*a^(cx)$ con $a,b,c$ contanti) sono ancora funzioni esponenziali dello stesso tipo (la legge di crescita è simile alla velocità di crescita). Si può dimostrare che se si prende la funzione $f(x)=be^x$ la sua derivata è esattamente uguale alla funzione: $f'(x)=f(x)$ . Quindi se una grandezza ha una evoluzione esponenziale nel tempo descritta da tale legge, la sua velocità di crescita è in ogni istante numericamente uguale al livello della grandezza stessa.
Questa notevole proprietà (che gode solo lei) rende tale funzione esponenziale e la sua base $e$ molto comode nei calcoli.
Per questo $e$ è la base tipica delle esponenziali e dei logaritmi (non a caso chiamati 'naturali' o neperiani).
Vale inoltre la famosa identità che contiene i cinque numeri più famosi della matematica :$e^(i\pi)+1=0$.
ciao
Se hai già fatto qualcosa di Analisi, una possibile spiegazione della sua utilità è questa. Tu sai che le derivate delle funzioni esponenziali (cioè quelle del tipo $f(x)=b*a^(cx)$ con $a,b,c$ contanti) sono ancora funzioni esponenziali dello stesso tipo (la legge di crescita è simile alla velocità di crescita). Si può dimostrare che se si prende la funzione $f(x)=be^x$ la sua derivata è esattamente uguale alla funzione: $f'(x)=f(x)$ . Quindi se una grandezza ha una evoluzione esponenziale nel tempo descritta da tale legge, la sua velocità di crescita è in ogni istante numericamente uguale al livello della grandezza stessa.
Questa notevole proprietà (che gode solo lei) rende tale funzione esponenziale e la sua base $e$ molto comode nei calcoli.
Per questo $e$ è la base tipica delle esponenziali e dei logaritmi (non a caso chiamati 'naturali' o neperiani).
Vale inoltre la famosa identità che contiene i cinque numeri più famosi della matematica :$e^(i\pi)+1=0$.
ciao
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