[ex] limite
Qui devo aver fatto un errore grave ché mi vergogno perfino a chiedere (mi metto gli occhiali scuri: 
).
$ lim_(x -> 0) (sen^2 x - sen x^2) /(sen^2 x ln(cosx))= $
$ lim_(x -> 0) (1 /ln(cosx)- (sen x^2) /(sen^2 x ln(cosx)))= $
$ lim_(x -> 0) (1 /ln(cosx)- (sen x^2) /x^2x/(sen x) x/(sen x)1/ln(cosx))= $
$ lim_(x -> 0) (1 /ln(cosx)- 1* 1* 1 1/ln(cosx))= 0 $
... e invece deve venire $2/3$.
Che ho combinato?
[EDIT: forse non posso fare $ lim_(x -> 0) (1 /ln(cosx)- 1/ln(cosx))= 0 $ perché non si tratta di due quantità "identiche", da poter essere sottratte algebricamente, ma di una forma indeterminata $oo - oo $ ?]
).$ lim_(x -> 0) (sen^2 x - sen x^2) /(sen^2 x ln(cosx))= $
$ lim_(x -> 0) (1 /ln(cosx)- (sen x^2) /(sen^2 x ln(cosx)))= $
$ lim_(x -> 0) (1 /ln(cosx)- (sen x^2) /x^2x/(sen x) x/(sen x)1/ln(cosx))= $
$ lim_(x -> 0) (1 /ln(cosx)- 1* 1* 1 1/ln(cosx))= 0 $
... e invece deve venire $2/3$.
Che ho combinato?
[EDIT: forse non posso fare $ lim_(x -> 0) (1 /ln(cosx)- 1/ln(cosx))= 0 $ perché non si tratta di due quantità "identiche", da poter essere sottratte algebricamente, ma di una forma indeterminata $oo - oo $ ?]
Risposte
Perchè non dovrebbero essere identiche?
Perché sono due infiniti, non due quantità "determinate" come $5 - 5$. Dici che l'errore è un altro?
"jitter":
Perché sono due infiniti, non due quantità "determinate" come $5 - 5$. Dici che l'errore è un altro?
Infatti mi sa che non puoi... Viene una forma indeterminata $+\infty-\infty$.
@retrocompuer: non avevo visto la tua risposta. In effetti, potrei tranquillamente scrivere $ lim_(x -> oo) (x-x)=0 $ poiché $x=x$, mentre nel caso precedente c'è un'approssimazione di
$ x/(sen x) x/(sen x)1/ln(cosx)$ a $ 1/ln(cosx)$, da cui la forma indeterminata...
$ x/(sen x) x/(sen x)1/ln(cosx)$ a $ 1/ln(cosx)$, da cui la forma indeterminata...
Il problema nasce quando fai il limite solo ad una parte dell'argomento.
Quando calcoli un limite devi mandare al limite tutta la funzione contemporaneamente.
Quando calcoli un limite devi mandare al limite tutta la funzione contemporaneamente.
Ciao Amelia, non ho capito bene in che senso "fare il limite a una parte dell'argomento"... Nel senso che ho sostituito alcune espressioni con "1" mentre le altre le ho "portate avanti" nel calcolo?
Esatto.
Penso sia utile ricordare che i classici teoremi "il limite della somma è uguale alla somma dei limiti" e "il limite del prodotto è uguale al prodotto dei limiti" perdono molta della loro universalità se qualcuno degli addendi o fattori tende a infinito.
"@melia":
Il problema nasce quando fai il limite solo ad una parte dell'argomento.
Quando calcoli un limite devi mandare al limite tutta la funzione contemporaneamente.
Ma questo, Amelia, vale solo quando si hanno forme indeterminate, mentre nei casi "finiti" posso farlo tranquillamente, giusto? Perché ogni volta che si semplifica, p. es. quando si elimina il fattore $(sin x)/x$ per x tendente a 0, "si fa il limite a una parte dell'argomento".
Come ha ricordato retrocomputer "il limite di una somma è uguale alla somma dei limiti", quindi puoi spezzare un limite per poterlo calcolare, ma non puoi riunificare i risultati se non hai calcolato interamente i limiti.
ok, grazie a entrambi
Forse sbaglio ma, a meno di acrobazie matematiche che io al momento non vedo, mi sembra che un tale limite non si possa risolvere con metodi da "Scuola Secondaria". Io l'ho risolto utilizzando, in forma mista, e lo sviluppo asintotico di $ sinx$, fermato ai primi due termini , e l'Hopital. Dunque abbiamo che, per x prossimo a 0, si ha:
$\sinx \approx x-{x^3}/6,\sinx^2\approx x^2-{x^6}/6$
Pertanto, indicando con L il limite richiesto, abbiamo :
$L=\lim_{x->0}x^2/{\sin^2x}\cdot\lim_{x->0}{\sin^2x-\sinx^2}/{x^2\ln(\cosx)}$
e utilizzando le approssimazioni:
$L=\lim_{x->0}{(x-x^3/6)^2-(x^2-x^6/6)}/{x^2\ln(\cosx)}$
Ovvero con qualche facile calcolo:
$L=\lim_{x->0}(7/{36}x^2-1/3)\cdot\limx^2/{\ln\cosx}=-1/3\cdot\lim_{x->0}{2x}/{-\tan x}=2/3$
$\sinx \approx x-{x^3}/6,\sinx^2\approx x^2-{x^6}/6$
Pertanto, indicando con L il limite richiesto, abbiamo :
$L=\lim_{x->0}x^2/{\sin^2x}\cdot\lim_{x->0}{\sin^2x-\sinx^2}/{x^2\ln(\cosx)}$
e utilizzando le approssimazioni:
$L=\lim_{x->0}{(x-x^3/6)^2-(x^2-x^6/6)}/{x^2\ln(\cosx)}$
Ovvero con qualche facile calcolo:
$L=\lim_{x->0}(7/{36}x^2-1/3)\cdot\limx^2/{\ln\cosx}=-1/3\cdot\lim_{x->0}{2x}/{-\tan x}=2/3$
La funzione $\frac{\sin x}{x}$ si comporta bene nella somma e nel prodotto con una funzione infinita perché è limitata. Si comporta bene come tutte le altre funzioni limitate.
La soluzione di ciromario è senz'altro la più rapida, ma purtroppo è applicabile solo dopo aver studiato gli sviluppi in serie, cosa che esclude praticamente tutte le scuole superiori.
Però, già che ci siamo, usiamoli anche per il logaritmo, scrivendolo come $log(cosx)=log[1+(cosx-1)]$.
Poiché $cosx-1 \approx-1/2x^2$ abbiamo $log(cosx)\approx-1/2x^2$
Però, già che ci siamo, usiamoli anche per il logaritmo, scrivendolo come $log(cosx)=log[1+(cosx-1)]$.
Poiché $cosx-1 \approx-1/2x^2$ abbiamo $log(cosx)\approx-1/2x^2$
Ops, forse avrei dovuto postare in Analisi. In effetti era un tema d'esame, ma avendo provato a svolgerlo con i metodi "di scuola", e pensando che il mio errore fosse "scolastico", mi sembrava di maggiore interesse in questa sezione. Grazie a tutti, comunque.
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