[Ex] Funzione derivabile con derivata non continua...
Esibire una funzione $f: \I \mapsto \mathbb{R}$ con $I \sube \mathbb{R}$ derivabile la cui derivata non è una funzione continua.
Risposte
$f(x)={(x^2sen(1/x),if x!=0),(0,if x=0):}$
Ti piace complicarti la vita
Davvero? Illuminami.
Presumo che l'esercizio fosse per gli studenti delle superiori ... 
$f(x)={(\root[3]{x},x \in (0,+\infty)),(0,x=0),(-\root[3]{-x},x \in (-\infty,0)):}$
Ups, me ne sono accorto solo ora che era nella sezione Secondaria II grado, non ci avevo fatto caso.
Comunque a questo punto sono sinceramente curioso di sapere a quale funzione stesse pensando dan95, perché a me non vengono in mente funzioni con questa proprietà molto più "facili" di quella che ho detto io.
Comunque a questo punto sono sinceramente curioso di sapere a quale funzione stesse pensando dan95, perché a me non vengono in mente funzioni con questa proprietà molto più "facili" di quella che ho detto io.
E perché non sarebbe continua (la derivata) ?
"dan95":
$f(x)={(\root[3]{x},x \in (0,+\infty)),(0,x=0),(-\root[3]{-x},x \in (-\infty,0)):}$
Ma questa non è esattemente $\root[3]{x}$?
No quella funzione non è definita per x negativo
Io la funzione $\root[3]{x}$ me la immagino definita su tutto $RR$, come l'inversa di $x^3$, in ogni caso, perché non è continua la derivata?
"dan95":
Esibire una funzione $f: \I \mapsto \mathbb{R}$ con $I \sube \mathbb{R}$ derivabile la cui derivata non è una funzione continua.
Tra l'altro, la funzione $[f(x)=root(3)(x)]$ per $[x=0]$ non è nemmeno derivabile, contrariamente alle ipotesi di cui sopra, sempre che $[x=0]$ faccia parte dell'intervallo $I$ ovviamente. Insomma, io non ho ancora capito dove si vuole andare a parare. Anche perché il classico esempio illustrato da otta96 mi sembrava più che ragionevole. Probabilmente mi sto perdendo qualcosa. Chi vivrà vedrà.
Stavolta ho toppato...tuttavia essendo un post istruttivo è bene giustificarle le cose.
Non è derivabile in $x_0=0$ perché $\lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{\root[3]{h}}{h}=\lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{h^(2/3)}=+\infty$
Mentre quella di otta96 va bene perché esiste finito
$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{h^2\sin(1/h)}{h}=0$
Non è derivabile in $x_0=0$ perché $\lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{\root[3]{h}}{h}=\lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{h^(2/3)}=+\infty$
Mentre quella di otta96 va bene perché esiste finito
$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{h^2\sin(1/h)}{h}=0$
"dan95":
... tuttavia essendo un post istruttivo ...
Su questo concordo pienamente.
P.S.
Bisognerebbe calcolare la derivata per $[x ne 0]$ e mostrare che non è continua per $[x=0]$.
A me l'arduo compito 
$f'(x)={(2x\sin(1/x)-\cos(1/x),x \ne 0),(0,x=0):}$
Chiaramente $\cos(1/x)$ non è continua in $x=0$, infatti se fosse continua allora fissato $\varepsilon=1$ esiste $\delta>0$ tale che
$$|x| < \delta \Rightarrow |\cos(1/x)|<1$$
Chiaramente assurdo poiché se prendiamo $n \in NN$ tale che $x=\frac{1}{\pi n}<\delta$ allora $|\cos(1/x)|=1$
$f'(x)={(2x\sin(1/x)-\cos(1/x),x \ne 0),(0,x=0):}$
Chiaramente $\cos(1/x)$ non è continua in $x=0$, infatti se fosse continua allora fissato $\varepsilon=1$ esiste $\delta>0$ tale che
$$|x| < \delta \Rightarrow |\cos(1/x)|<1$$
Chiaramente assurdo poiché se prendiamo $n \in NN$ tale che $x=\frac{1}{\pi n}<\delta$ allora $|\cos(1/x)|=1$
"dan95":
A me l'arduo compito
Una semplice $y = abs(x)$ ?
Non è derivabile in $x=0$...verifica facile facile
Nl
Nl
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