[EX] Formule che "probabilmente" coincidono

[gugo82]

Esercizio:

Supponiamo di avere due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ definite e continue, per semplicità, sulla retta reale.

1. È vero o no che se risulta $f(0)=g(0)$ ed $f(1) = g(1)$ allora vale l'uguaglianza $f(x) = g(x)$ per ogni $x in RR$?
In caso affermativo, motivare la risposta; in caso negativo, fornire un controesempio.


2. È vero o no che se risulta $f(0)=g(0)$, $f(1) = g(1)$ ed $f(-1)=g(-1)$ allora l'uguaglianza $f(x) = g(x)$ vale per ogni $x in RR$?
In caso affermativo, motivare la risposta; in caso negativo, fornire un controesempio.


3. Generalizzare. È vero o no che se risulta $f(x_1)=g(x_1)$, $f(x_2) = g(x_2)$, $f(x_3)=g(x_3)$, ..., $f(x_N) = g(x_N)$ (con $N$ "grande" ed $x_1,x_2,x_3,...,x_N in RR$) allora si ha $f(x) = g(x)$ per ogni $x in RR$?
In caso affermativo, motivare la risposta; in caso negativo, fornire un controesempio.


4. Nel caso di risposta negativa ai quesiti 1-3, quante funzioni $g$ è possibile determinare che soddisfino le richieste $f(0) = g(0), f(1)=g(1)$ (quesito 1), $f(0)=g(0), f(1) = g(1), f(-1)=g(-1)$ (quesito 2) o, in generale, $f(x_1)=g(x_1), f(x_2) = g(x_2), f(x_3)=g(x_3), ..., f(x_N) = g(x_N)$ (quesito 3).


5. Alla luce delle risposte date ai quesiti precedenti, riflettere sulla verità della seguente affermazione:

Date due formule $f(x)$ e $g(x)$ definite in $RR$, molto probabilmente risulta $f(x) = g(x)$ per ogni $x in RR$ se per un numero $N$ "molto grande" di valori $x_1,x_2,x_3,...,x_N$ valgono le uguaglianze $f(x_1)=g(x_1), ..., f(x_N) = g(x_N)$.

6. Cosa succede se al posto di un numero finito $N$ "grande" di punti, l'uguaglianza $f(x) = g(x)$ è soddisfatta in infiniti punti $x_1,x_2, ..., x_n, ... in RR$ (ad esempio, in tutti i punti $n in ZZ$)?

[ghira1]

"gugo82":
Cosa succede se al posto di un numero finito $N$ "grande" di punti, l'uguaglianza $f(x) = g(x)$ è soddisfatta in infiniti punti $x_1,x_2, ..., x_n, ... in RR$ (ad esempio, in tutti i punti $n in ZZ$)?

Niente. Hai trovato quel brano in un libro di testo? È preoccupante.

[gugo82]

"ghira":[quote="gugo82"]
Cosa succede se al posto di un numero finito $N$ "grande" di punti, l'uguaglianza $f(x) = g(x)$ è soddisfatta in infiniti punti $x_1,x_2, ..., x_n, ... in RR$ (ad esempio, in tutti i punti $n in ZZ$)?

Niente. Hai trovato quel brano in un libro di testo? È preoccupante.[/quote]
Di recente la questione si è posta alla mia attenzione, dato che qualcuno ha affermato che il fatto che i valori di due formule $f(x)$ e $g(x)$ coincidano per mille valori della variabile è sufficiente per affermare che le due formule restituiscano ovunque lo stesso risultato.

Questo esercizio è pensato per cercare di smontare questa misconception almeno tra i ragazzi in età scolare (spero serva anche alle persone mature, ma ne sono poco convinto).


P.S.: Mi ero dimenticato un'ipotesi su $f$ e $g$, che devono essere continue.
Non che cambi le cose, ma almeno la facciamo un po' più difficile.

[ghira1]

"gugo82":
P.S.: Mi ero dimenticato un'ipotesi su $f$ e $g$, che devono essere continue.
Non che cambi le cose, ma almeno la facciamo un po' più difficile.

Beh, cambia le cose. Se $f$ e $g$ sono continue, e $f(x)=g(x)$ per ogni $x$ razionale, $f$ e $g$ sono uguali dappertutto.

Se non sono continue, e $f(x)=g(x)$ per ogni $x$ razionale, niente.

[Zero87]

Voglio farlo, non mi importa di quante posso sbagliarne, voglio vedere quanto ne so a 8 anni dalla laurea.
Mi raccomando, Gugo, dammi una tirata d'orecchie se me la merito.
(Da parte mia se faccio una schifezza editerò questo post e farò finta di niente. )

Esercizio 1.

Controesempio.
Se $f(x) = x$ e $g(x) = \sqrt(x)$ allora valgono le ipotesi ma non vale la tesi.

Per un caso generale, ovvero gli esercizi dal 2 al 5, pensavo...

$f(x) = (x-x_1)(x-x_2) \cdots (x-x_n)$ e $g(x) = 2 (x-x_1)(x-x_2) \cdots (x-x_n)$
Abbiamo
$f(x_i) = g(x_i) = 0 \forall i \in {1, ..., n}$
ma le funzioni non sono uguali.
Credo che vada bene come controesempio generale.

Mi manca il punto 6.

Ho questa idea come controesempio per tutti i punti di $\mathbb{Z}$ ma non ne sono proprio sicuro.
$f(x) = \prod_(n= - \infty)^(+ \infty) (x-n)$
$g(x) = f(x) + sin(nx)$

[gugo82]

"ghira":[quote="gugo82"]
P.S.: Mi ero dimenticato un'ipotesi su $f$ e $g$, che devono essere continue.
Non che cambi le cose, ma almeno la facciamo un po' più difficile.

Beh, cambia le cose. Se $f$ e $g$ sono continue, e $f(x)=g(x)$ per ogni $x$ razionale, sono $f$ e $g$ uguali dappertutto.

Se non sono continue, e $f(x)=g(x)$ per ogni $x$ razionale, niente.[/quote]
Il punto dell'esercizio è proprio quello di generare una discussione.
Quindi ben vengano osservazioni come la tua.

[gugo82]

"Zero87":Voglio farlo, non mi importa di quante posso sbagliarne, voglio vedere quanto ne so a 8 anni dalla laurea.
Mi raccomando, Gugo, dammi una tirata d'orecchie se me la merito.
(Da parte mia se faccio una schifezza editerò questo post e farò finta di niente. )

Esercizio 1.

Controesempio.
Se $f(x) = x$ e $g(x) = \sqrt(x)$ allora valgono le ipotesi ma non vale la tesi.

Ni. La risposta è giusta, ma il testo richiede funzioni definite in tutto $RR$.

"Zero87":Per un caso generale, ovvero gli esercizi dal 2 al 5, pensavo...

$f(x) = (x-x_1)(x-x_2) \cdots (x-x_n)$ e $g(x) = 2 (x-x_1)(x-x_2) \cdots (x-x_n)$
Abbiamo
$f(x_i) = g(x_i) = 0 \forall i \in {1, ..., n}$
ma le funzioni non sono uguali.
Credo che vada bene come controesempio generale.

Certo, va più o meno bene, ma perché limitarti a funzioni che assumono valore $0$ nei punti che ti interessano? Potresti provare a fare un discorso più generale.
Prova a mostrare che che si possono definire infinite funzioni $g(x)$ che coincidono con una data $f(x)$ in un numero finito di punti.

"Zero87":Mi manca il punto 6.

Ho questa idea come controesempio per tutti i punti di $\mathbb{Z}$ ma non ne sono proprio sicuro.
$f(x) = \prod_(n= - \infty)^(+ \infty) (x-n)$
$g(x) = f(x) + sin(nx)$

Il prodotto infinito converge?
“Ad occhio” direi di no, ma non ne sono sicuro.

[otta96]

"gugo82":Il prodotto infinito converge?

Assolutamente no, per $x\notin ZZ$, non c'è nemmeno la parvenza di tendenza a $1$ da parte del termine generico, (beh, nemmeno per $x\in ZZ$ sè è per questo, ma in quel caso un termine è $0$). Tra l'altro basta prendere una qualsiasi $f$, se poi le $g$ è definita in quel modo a fare da esempio.

[fulcanelli]

Basta prendere \(\sin\) (nulla su tutti "gli interi", i.e. i multipli interi di \pi) e la funzione nulla, no?
E' semmai la topologia dell'insieme degli zeri (e la continuità di \(f,g\)) a essere discriminante.

[gugo82]

"fulcanelli":Basta prendere \(\sin\) (nulla su tutti "gli interi", i.e. i multipli interi di \pi) e la funzione nulla, no?
E' semmai la topologia dell'insieme degli zeri (e la continuità di \(f,g\)) a essere discriminante.

Certo; nel caso in cui i punti di coincidenza siano infiniti molto dipende da come sono distribuiti i punti della successione $(x_n)$.

[Zero87]

Colpa mia che non sono riuscito a passare qui prima di mezz'ora fa e l'ora tarda non aiuta.

"gugo82":[quote="Zero87"]Esercizio 1.

Controesempio.
Se $f(x) = x$ e $g(x) = \sqrt(x)$ allora valgono le ipotesi ma non vale la tesi.

Ni. La risposta è giusta, ma il testo richiede funzioni definite in tutto $RR$.[/quote]
Mi è venuto questo in mente...

$f(x) = x$ e $g(x) = x^2$

... che dovrebbe andare. Proverò a pensare agli altri, comunque. Grazie!

[gugo82]

"gugo82":Esercizio:

Supponiamo di avere due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ definite e continue, per semplicità, sulla retta reale.

1. È vero o no che se risulta $f(0)=g(0)$ ed $f(1) = g(1)$ allora vale l'uguaglianza $f(x) = g(x)$ per ogni $x in RR$?
In caso affermativo, motivare la risposta; in caso negativo, fornire un controesempio.

No.
Di controesempi ce ne sono tanti. Fissata che sia $f(x)$, ogni funzione del tipo $g(x) = f(x) + p(x)$ in cui $p$ è uno degli infiniti polinomi non identicamente nulli che si annullano in $0$ ed $1$ fa al caso nostro; oppure $g(x) = f(x) + sin pi x$; oppure $g(x) = f(x) + (1-cos^2 pi x)$; oppure...

"gugo82":2. È vero o no che se risulta $f(0)=g(0)$, $f(1) = g(1)$ ed $f(-1)=g(-1)$ allora l'uguaglianza $f(x) = g(x)$ vale per ogni $x in RR$?
In caso affermativo, motivare la risposta; in caso negativo, fornire un controesempio.

No.
Come sopra, di controesempi se ne possono costruire innumerevoli: fissata $f(x)$, ogni funzione $g(x) := f(x) + p(x)$, in cui $p$ è uno degli infiniti polinomi non identicamente nulli che si annullano in $0$ e $+-1$, fa al caso nostro; oppure...

"gugo82":3. Generalizzare. È vero o no che se risulta $f(x_1)=g(x_1)$, $f(x_2) = g(x_2)$, $f(x_3)=g(x_3)$, ..., $f(x_N) = g(x_N)$ (con $N$ "grande" ed $x_1,x_2,x_3,...,x_N in RR$) allora si ha $f(x) = g(x)$ per ogni $x in RR$?
In caso affermativo, motivare la risposta; in caso negativo, fornire un controesempio.

Siamo sempre lì: no.
Come sopra, fissata $f(x)$, ogni funzione del tipo $g(x) := f(x) + p(x)$, in cui $p$ è un polinomio non identicamente nullo che si annulla in $x_1, ..., x_N$, fa al caso nostro.

Questo tipo di ragionamento mostra che il problema è del tutto equivalente a dire se esistono funzioni $h(x)$ continue in $RR$ e non necessariamente identicamente nulle che si annullano in $x_1, ... , x_N$... E ce ne sono a bizzeffe!
Infatti, anche solo limitandosi ai polinomi, ogni polinomio:

$p(x) = (x - x_1) * ... * (x - x_N) * q(x)$,

in cui $q$ è un generico polinomio non identicamente nullo, si annulla in tutti i punti $x_1, ..., x_N$ e dunque la funzione $f(x)$ e la funzione $g(x) = f(x) + p(x)$ coincidono in $x_1, ..., x_N$ pur non essendo uguali altrove.

"gugo82":4. Nel caso di risposta negativa ai quesiti 1-3, quante funzioni $g$ è possibile determinare che soddisfino le richieste $f(0) = g(0), f(1)=g(1)$ (quesito 1), $f(0)=g(0), f(1) = g(1), f(-1)=g(-1)$ (quesito 2) o, in generale, $f(x_1)=g(x_1), f(x_2) = g(x_2), f(x_3)=g(x_3), ..., f(x_N) = g(x_N)$ (quesito 3).

Lo si è detto: infinite.

"gugo82":5. Alla luce delle risposte date ai quesiti precedenti, riflettere sulla verità della seguente affermazione:

Date due formule $f(x)$ e $g(x)$ definite in $RR$, molto probabilmente risulta $f(x) = g(x)$ per ogni $x in RR$ se per un numero $N$ "molto grande" di valori $x_1,x_2,x_3,...,x_N$ valgono le uguaglianze $f(x_1)=g(x_1), ..., f(x_N) = g(x_N)$.

Ovviamente no, ma nemmeno per idea.
Si possono fare anche millemila (i.e., un numero $N$ "molto grande") prove numeriche e constatare l'uguaglianza $f(x_n) = g(x_n)$ per ognuno dei millemila punti selezionati, senza poter concludere nulla sulla veridicità dell'affermazione "$f(x) = g(x)$ per ogni $x in RR$".

"gugo82":6. Cosa succede se al posto di un numero finito $N$ "grande" di punti, l'uguaglianza $f(x) = g(x)$ è soddisfatta in infiniti punti $x_1,x_2, ..., x_n, ... in RR$ (ad esempio, in tutti i punti $n in ZZ$)?

Questa è una domanda che, come si rilevava in precedenza, merita più attenzione.
Essenzialmente, senza conoscere nulla di come sono "disposti" gli infiniti punti $x_n$ sulla retta reale, non si può rispondere né affermativamente né negativamente al quesito.
Se però si fa qualche ipotesi, si può portare a casa un risultato positivo o un risultato negativo... Insomma, dipende.

Ad esempio, se gli $x_n$ non si addensano sulla retta, ma sono "isolati", si può portare a casa un risultato negativo.
Ad esempio, se $x_n = n$ con $n in ZZ$ (i.e., se gli $x_n$ sono tutti i numeri interi), allora $f(x)$ e $g(x) = f(x) + sin pi x$ coincidono su tutti gli $x_n$ senza coincidere in alcun altro punto.

Al contrario, se gli $x_n$ formano un insieme denso sulla retta, la risposta è sì, due funzioni continue $f(x)$ e $g(x)$ che coincidono su tutti i punti $x_n$ devono necessariamente coincidere ovunque.
Infatti, se $x in RR$ è un punto presente tra gli $x_n$, diciamo $x=x_nu$, allora $f(x) = f(x_nu) = g(x_nu) = g(x)$ (in cui l'uguaglianza nel mezzo vale per ipotesi).
D'altra parte, se $x in RR$ non è uno degli $x_n$, per densità esso può essere approssimato da elementi appartenenti a tale successione, ossia esistono numeri $x_(n_k)$ tali che $lim_k x_(n_k) = x$; per continuità, allora risulta:

$f(x) = lim_k f(x_(n_k)) = lim_k g(x_(n_k)) = g(x)$

(in cui l'uguaglianza tra i limiti nel mezzo discende dal fatto che $f(x_(n_k)) = g(x_(n_k))$ per ipotesi).

In ipotesi "mediane", il risultato mi pare essere comunque negativo.

[Studente Anonimo]

Anche questo potrebbe interessare, e credo sia alla portata degli studenti delle superiori:

Supponiamo che $X$ sia un sottoinsieme di $RR$ con la seguente proprietà:

(*) Ogni volta che due funzioni continue $f,g:RR to RR$ coincidono in $X$ (cioè $f(x)=g(x)$ per ogni $x in X$) allora coincidono in $RR$ (cioè $f(x)=g(x)$ per ogni $x in RR$).

Mostrare che $X$ è denso in $RR$ (cioè per ogni $a,b in RR$ tali che $a < b$ esiste $c in X$ tale che $a

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