Euclide o Hilbert?

[anto_zoolander]

Ciao

ascoltavo Odifreddi, dove parlava della ricostruzione della geometria euclidea da parte di Hilbert, e a questo punto mi sono chiesto:

ha senso studiarsi la geometria euclidea, o tanto vale partire da quella di Hilbert, se la ripropone più assiomatica?

[@melia]

Uno degli esami fondamentali di didattica al corso di laurea in Matematica a Padova era Matematiche elementari, nel corso si studiavano molte branche della matematica elementare, ma soprattutto si analizzavano tre "geometrie euclidee", ciascuna con assiomi di partenza diversi, ma riconducibile, da un certo punto in poi, alla geometria euclidea.
Se hai avuto modo di leggere le prime pagine degli Elementi di Euclide, ti sarai accorto che la "geometria euclidea" fatta al biennio è solo parzialmente quella proposta da Euclide.
Non ricordo espressamente gli assiomi di Hilbert, ma la geometria che hai studiato al biennio potrebbe tranquillamente essere un mix tra euclidea e hilbertiana.
Quella che identifichiamo come "geometria euclidea" non ha solo gli assiomi proposti da Euclide, molto del suo lavoro è stato modificato/rielaborato nei secoli, si identifica come geometria euclidea ogni geometria in cui vale il
Quinto postulato di Euclide
Data una retta r e un punto P esterno ad essa, esiste ed è unica la parallela ad r passante per P.
Se questo assioma (o altri equivalenti) non vale nascono la Geometria Ellittica e quella Iperbolica, ovvero le geometrie non euclidee.
Il sistema assiomatico di Hilbert descrive una geometria euclidea.
Un altro sistema assiomatico interessante è stato quello proposto da Ugo Morin che si basa sulle trasformazioni del piano, la parte dedicata alla scuola secondaria usa le isometrie per descrivere una geometria euclidea.