Ettagono regolare
Sarà forse l'ora ma non riesco a capire una cosa.
Consideriamo un ettagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio unitario. Perchè i vertici sono le radici dell'equazione
$x^7-1=0$?
Consideriamo un ettagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio unitario. Perchè i vertici sono le radici dell'equazione
$x^7-1=0$?
Risposte
mmm..scusate ero davvero mezzo addormentato...tutto risolto.
Non riesco proprio a capire... Quali sono le soluzioni di questa benedetta equazione?! In un primo momento credevo fosse solo 1 con molteplicità 7... Poi mi sono accorto di aver detto una stupidaggine: dobbiamo scomporre il binomio (differenza di due potenze con due esponenti dispari uguali) dividendolo con il "mitico" ruffini per la differenza delle basi di tali esponenti.... Si ottiene la seguente scomposizione:
$x^7-1=(x-1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)$
da cui si trova la prima radice 1, ma... chi sa risolvere l'equazione di 6° grado?! E poi perchè dovrebbero essere i vertici dell'ettagono?! Scusami Giuseppe87x... spiacente di non poterti aiutare di più...
Paolo90
$x^7-1=(x-1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)$
da cui si trova la prima radice 1, ma... chi sa risolvere l'equazione di 6° grado?! E poi perchè dovrebbero essere i vertici dell'ettagono?! Scusami Giuseppe87x... spiacente di non poterti aiutare di più...
Paolo90
Scusa non avevo visto il secondo post.... Come hai fatto?!
"Paolo90":
Scusa non avevo visto il secondo post.... Come hai fatto?!
Basta passare al piano complesso e sapere che $x^n=1$ ha $n$ soluzionio dette radici dell'unita, sono nella forma
$e^((2pik)/n)$ con $k in {0,1,2...n-1}$. Puoi verificarlo con la formula di Eulero.
Ciao!
Giusto.... Ho capito. Grande carlo!! Ancora 1 volta...
Pol
Pol
"Paolo90":
Giusto.... Ho capito. Grande carlo!! Ancora 1 volta...
Pol
Tra l'altro non so come, ma quella formula ha permesso di dimostrare quali pologoni sono costruibili con riga e compasso e quli no
Le soluzioni vanno cercate nel campo dei numeri complessi. Posso considerare z (quella che poco fa ho chiamato x) come il numero complesso x+yi dove x e y sono le coordinate del vertice.
In realtà le soluzioni mi interessano relativamente, più che altro alla fine devo arrivare ad un'equazione cubica a coefficienti razionali per dimostrare che non è possibile costruire geometricamente un ettagono regolare. Infatti per il teorema delle equazioni cubiche, se un'equazione cubica a coefficienti razionali non ammette radici razionali allora nessuna delle sue radici è un numero costruibile partendo dal campo dei razionali. Di conseguenza non è possibile costruire geometricamente le radici.
In realtà le soluzioni mi interessano relativamente, più che altro alla fine devo arrivare ad un'equazione cubica a coefficienti razionali per dimostrare che non è possibile costruire geometricamente un ettagono regolare. Infatti per il teorema delle equazioni cubiche, se un'equazione cubica a coefficienti razionali non ammette radici razionali allora nessuna delle sue radici è un numero costruibile partendo dal campo dei razionali. Di conseguenza non è possibile costruire geometricamente le radici.
"giuseppe87x":
Le soluzioni vanno cercate nel campo dei numeri complessi. Posso considerare z (quella che poco fa ho chiamato x) come il numero complesso x+yi dove x e y sono le coordinate del vertice.
In realtà le soluzioni mi interessano relativamente, più che altro alla fine devo arrivare ad un'equazione cubica a coefficienti razionali per dimostrare che non è possibile costruire geometricamente un ettagono regolare. Infatti per il teorema delle equazioni cubiche, se un'equazione cubica a coefficienti razionali non ammette radici razionali allora nessuna delle sue radici è un numero costruibile partendo dal campo dei razionali. Di conseguenza non è possibile costruire geometricamente le radici.
Mica male. Mi sembra molto difficile...
"giuseppe87x":
...allora nessuna delle sue radici è un numero costruibile partendo dal campo dei razionali. Di conseguenza non è possibile costruire geometricamente le radici.
No capisco una cosa, $sqrt(2)$ non è costrubile dal campo dei razionali. Però è costruibile geometricamente, è la diagonale di un quadrato unitario.
Cosa non quadra?
sqrt2 e' radice di un'equazione di secondo grado,
x^2-2=0,
non di terzo
certo puoi moltiplicare tutto per x e ottieni l'equazione di terzo grado
x^3-2x=0
di cui sqrt2 e' radice, ma tale equazione ammette comunque UNA radice razionale (x=0)
Il teorema citato da Giuseppe, dice che
se un'equazione cubica a coefficienti razionali non ammette radici razionali allora nessuna delle sue radici è un numero costruibile con riga e compasso
ti torna?
x^2-2=0,
non di terzo
certo puoi moltiplicare tutto per x e ottieni l'equazione di terzo grado
x^3-2x=0
di cui sqrt2 e' radice, ma tale equazione ammette comunque UNA radice razionale (x=0)
Il teorema citato da Giuseppe, dice che
se un'equazione cubica a coefficienti razionali non ammette radici razionali allora nessuna delle sue radici è un numero costruibile con riga e compasso
ti torna?
"giuseppe87x":
Consideriamo un ettagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio unitario. Perchè i vertici sono le radici dell'equazione
$x^7-1=0$?
so perfettamente quello che intendevi dire, ma vorrei fare una precisazione a beneficio di chi non avesse dimestichezza con questi argomenti
le radici dell'equazione x^7-1=0 sono vertici di un ettagono regolare inscritto nella circonferenza unitaria, non viceversa: esistono infiniti ettagoni regolari, inscritti nella stessa circonferenza, i cui vertici NON coincidono con le radici di x^7-1=0
Sono tutti quelli che puoi ottenere a partire dall'ettagono con verice in (1;0) ruotandolo...
Ripeto e' evidente che sai benissimo quell di cui stai parlando, era solo per chiarire, casomai qualcuno non lo sapesse
"Giusepperoma":
ti torna?
Si, adesso mi è chiaro.
"carlo23":
Mica male. Mi sembra molto difficile...
Ti sembra difficile perchè è un argomento che forse non conosci ma in realtà è molto semplice. Si tratta delle costruzioni geometriche. In pratica si dimostra quali figure è possibile costruire geometricamente (tramite riga e compasso) attraverso una modellizzazione algebrica del problema geometrico. In questo modo se il modello algebrico del problema geometrico prevede soluzioni algebriche costruibili a partire dal campo dei numeri razionali, la figura è costruibile; altrimenti se il modello algebrico non prevede soluzioni algebriche è impossibile costruire la figura. Pensa ad esemio alla duplicazione del cubo o al problema della trisezione dell'angolo...
"giuseppe87x":
triplicazione dell'angolo...
trisezione
non odiarmi....
ah........chiedo scusa.....TRISEZIONE
....corretto.
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