Estremo e limite

[Satiro]

Ciao a tutti,avrei una domanda semplice per voi,quale è la differenza tra estremo (sup o inf) e limite? io avevo provato alcuni esempi abbastanza chiari che ti mostravano come limite e estremo superiore e inferiore differissero ma non capisco bene il perchè succeda anche se è palese con una successione,ad esempio, del tipo limite con n-> infinito di $((-1)^n)/n=0$ ok è abbastanza chiaro vedere che il limite è zero e che estremo sup e inf,rispettivamente sono 1/2 e -1. In parole povere quindi a che serve il limite? so che insieme ad una successione,per esempio,aiuta a capire "in che modo" la funzione va ad ottenere certi valori ma poi? che altra definizione si può dare a limite? Grazie,scusate se non mi sono fatto capire

[@melia]

In generale nelle funzioni il limite serve a vedere il comportamento della funzione nell'intorno dei punti in cui non è possibile calcolarla.

[Satiro]

mentre quando si parla di limite+epsilon e limite-epsilon si fa riferimento all'intorno ,diciamo, del limite,appunto perchè il limite limite non lo raggiungiamo e quindi studiamo quello che c'è nelle immediate vicinanze?
Avrei bisogno quindi di capire un'altra cosa, noi abbiamo la classicissima funzione $(-1)^n$ il limite di questa funzione qual'è?perchè è chiaro che questa funzione sia limitata ma non converge giusto?perchè?

[Satiro]

Io lo scrivo comunque,anche se si stanno accavallando domande su domande spero che riuscirete a rispondere.Stavo cercando di capire perchè un limite in quanto tale è unico per una data funzione o successione,ciò attraverso il teorema di unicità del limite,stavo quindi osservando la dimostrazione,ma non capisco alcuni punti,faccio prima a linkarvi la pagina http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di ... del_limite ,io ora parlo riferendomi alla dimostrazione poco sotto.
al punto in cui è riportato il valore assoluto della differenza dei due limiti non capisco,prima di tutto perchè la differenza dei due limiti è minore di an-l1+an-l2 ma sopratutto non capisco perchè il valore assoluto della differenza tra l1 e l2 sia uguale a zero,forse perchè con "per ogni epsilon maggiore di zero" si intende una piccolissima quantità sopra lo zero e quindi dire minore di questa piccola quantità equivale a dire uguale a zero? :\ grazie mille

[@melia]

"Satiro":noi abbiamo la classicissima funzione $(-1)^n$ il limite di questa funzione qual'è?perchè è chiaro che questa funzione sia limitata ma non converge giusto?perchè?

La funzione non è convergente perché se lo fosse da un certo n in poi dovrebbe assumere valori che si avvicinano sempre di più al valore a cui converge, invece questa continua a saltellare da $-1$ a $1$ senza tendere ad un unico valore.

Per l'altra domanda se $l_1-l_2|<2epsilon$ ed $epsilon$ è un qualsiasi numero maggiore di 0, un numero più piccolo di un qualsiasi numero > di 0 non può che essere 0.

[Satiro]

perdonate la mia stupidità ma ancora non capisco una cosa base, per regola una funzione che converge è limitata giusto? ma esattamente da cosa è limitata? ad esempio, il limite di 1/n con n che tende ad infinito è zero,quindi convergente e limitata,i valori che limitano la funzione in questo caso quali sono? 1/2 e 0? quindi il limite di una funzione rappresenta sempre uno dei valori in cui "è contenuta"? Grazie mille.

[Satiro]

Avrei qualche problema con una cosa che è legata,sarebbe la dimostrazione che an*bn ->a*b http://imageshack.us/f/153/imgdn.jpg/ non riesco a capire nel penultimo passaggio,primo perchè dice che M*(ε /M) è maggiore o uguale di M|bn|,cioè che cos'è ε /M??