Estrapolazione passaggio di taylor!

[blulaserstar]

salve ho estrapolato un passaggio del polinomio di taylor di cui non ne capisco lo sviluppo:
$P(x0)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+(f''(x0))/2(x-x0)$
$P'(x0)=f'(x0)+((f''(x0))/2)2(x-x0)$
$P''(x0)=f''(x0)$

perchè al $P'(x0)$ ho $f'(x0)+((f''(x0))/2)2(x-x0)$? mi verrebbe da pensare che: $f(x0)$ sia stato eliminato che pure $(x-x0)$ sia stato tolto e per $f''$ ho derivato solo $(x-x0)^2$ ma perchè si ha questo procedimento? io avrei proceduto in diverso modo ovvero:
$P(x0)=f'(x0)+f''(x0)(x-x0)+(f'''(x0))/2(x-x0)$ ma mi sa che avrei sbagliato alla grande dove sbaglio? come funziona il sistema di derivate prima scritto?

[_luca.barletta]

"blulaserstar":
$P(x0)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+(f''(x0))/2(x-x0)$

dovrebbe essere invece $P(x0)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+(f''(x0))/2(x-x0)^2$, da cui derivando successivamente rispetto a x trovi le altre due formule.