Espressioni con i radicali (265646)

[Eriiikaaa]

Scusate, potete aiutarmi con questo esercizio per favore? Purtroppo non ho il risultato: "rad2-4 * rad((1)/(9-4rad2))".
In rad2-4 solo il due è sotto radice, -4 no. In rad((1)/(9-4rad2)) è tutto sotto radice ed al denominatore 9-4rad2 solo il 2 è sotto radice, anche se si capisce. Grazie mille in anticipo!

[Matlurker]

Se l'espressione è questa:

[math]\sqrt{2}-4 \cdot \sqrt{\frac{1}{9-4\sqrt{2}}}=[/math]

possiamo scriverla:

[math]\sqrt{2}-\frac{4}{\sqrt{9-4\sqrt{2}}}[/math]

Al denominatore compare un radicale doppio:

[math]\sqrt{9+4\sqrt{2}}=\sqrt{9+\sqrt{32}}[/math]

In generale, si può dimostrare che esiste l'eguaglianza:

[math]\sqrt{a \pm \sqrt{b}}= \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} \pm \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}[/math]

Se la quantità

[math]a^2-b[/math]

è un quadrato perfetto, ce ne avvarremo per semplificare l'espressione. Qui è:

[math]a=9;\; b=32;\; a^2-b=49;[/math]

, per cui il radicale doppio diventa:

[math]\sqrt{9-4\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{9+\sqrt{49}}{2}}-\sqrt{\frac{9-\sqrt{49}}{2}}=\sqrt{8}-1=2\sqrt{2}-1[/math]

Sostituendolo all'espressione data, questa diventa:

[math]\sqrt{2}-\frac{4}{2\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}(2\sqrt{2}-1)-4}{2\sqrt{2}-1}=\frac{4-\sqrt{2}-4}{2\sqrt{2}-1}=-\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-1}[/math]

Poiché compare una radice al denominatore, possiamo razionalizzare moltiplicando e dividendo alla frazione la quantità

[math]2\sqrt{2}+1[/math]

:

[math]-\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-1}\cdot \frac{2\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}+1}=-\frac{4+\sqrt{2}}{8-1}=-\frac{4+\sqrt{2}}{7}[/math]

[Eriiikaaa]

sì l'espressione è questa, grazie mille davvero!