Espressioni che non riesco a fare

[frida74]

mi aiutate a capirle
ne ho fatte tante ma queste con esponente negativo non riesco a farle

Aggiunto 1 minuto più tardi:

sono la 808 e la 810 che non so fare

[SteDV]

L'esponente negativo non aggiunge particolari difficoltà alle espressioni. Perciò, se normalmente riesci a risolverle, non dovresti avere problemi, una volta capito come trattarlo.

Una potenza con esponente negativo si riscrive semplicemente in una frazione che ha per numeratore 1 e per denominatore la base con lo stesso esponente ma positivo. Il reciproco, insomma.

Ad esempio

[math](1 + \frac{x-2}{x-1})^{-3}[/math]

diventa

[math]\frac{1}{(1+\frac{x-2}{x-1})^3}[/math]

Naturalmente, fa' questa sostituzione quando hai semplificato il più possibile la base, in modo da evitare N piani di frazioni.

Ricorda, inoltre, che le proprietà delle potenze valgono ugualmente, perciò un esponente negativo può essere tranquillamente sommato o moltiplicato quando possibile.

Dimmi se ti è chiaro.
Eventualmente proviamo a svolgerne una per intero, così hai un esempio completo.

[frida74]

mi puoi fare la 108 e la 110 perche il fatto che dovevo invertire l avevo capito però non mi trovo

[SteDV]

ESERCIZIO 108

[math](\frac{2xy}{x^2 + y^2 + 2xy} - 1) [(\frac{x}{y} - 2 + \frac{y}{x}) : (\frac{x}{y} + 2 + \frac{y}{x}) + 1]^{-1}[/math]

I passaggio
Svolgo le parentesi tonde.
Nel primo caso scompongo in fattori il denominatore, che è evidentemente lo sviluppo di un quadrato di binomio.
Negli altri due casi non occorrono scomposizioni: il denominatore comune nella seconda e nella terza coppia di parentesi tonde è ugualmente xy.

[math][\frac{2xy}{(x + y)^2} - 1] [(\frac{x^2 - 2xy + y^2}{xy}) : (\frac{x^2 + 2xy + y^2}{xy}) + 1]^{-1}[/math]

II passaggio
Svolgo la differenza nella prima coppia di parentesi (ora quadre, a causa del quadrato di binomio).
Quindi, scompongo i numeratori nelle parentesi tonde, che sono ancora sviluppi di un quadrato di binomio.
Già che ci sono, inverto l'ultima frazione per poter svolgere la divisione come prodotto del reciproco.

[math][\frac{2xy - (x + y)^2}{(x + y)^2}] [\frac{(x - y)^2}{xy} \frac{xy}{(x + y)^2} + 1]^{-1}[/math]

III passaggio
Svolgo la moltiplicazione nella seconda coppia di parentesi quadre.

[math][\frac{2xy - (x + y)^2}{(x + y)^2}] [\frac{(x - y)^2}{(x + y)^2} + 1]^{-1}[/math]

IV passaggio
Svolgo la somma nella seconda parentesi.

[math][\frac{2xy - (x + y)^2}{(x + y)^2}] [\frac{(x - y)^2 + (x + y)^2}{(x + y)^2}]^{-1}[/math]

V passaggio
Dal momento che la seconda parentesi è elevata a -1, l'intero prodotto è uguale alla divisione tra le due frazioni, quindi al prodotto della prima per il reciproco dell'altra.

[math]
\frac{2xy - (x + y)^2}{(x + y)^2}
\frac{(x+y)^2}{(x - y)^2 + (x + y)^2}
[/math]

VI passaggio
Svolgo il prodotto.

[math]\frac{2xy - (x + y)^2}{(x - y)^2 + (x + y)^2}[/math]

VII passaggio
Non resta che semplificare.

[math]
\frac{2xy - (x^2 + 2xy + y^2)}{(x^2 - 2xy + y^2) + (x^2 + 2xy + y^2)} =
[/math]

[math]
\frac{2xy - x^2 - 2xy - y^2}{x^2 - 2xy + y^2 + x^2 + 2xy + y^2} =
[/math]

[math]
\frac{-x^2 - y^2}{2x^2 + 2y^2} =
[/math]

[math]
-\frac{x^2 + y^2}{2(x^2 + y^2)} = -\frac{1}{2}
[/math]

[appuntixx]

Primo passaggio: scomponi. 6x-2 diventa 2(3x-1)(raccoglimento a fattor comune) e 9-x2 diventa (3+x)(3-x)(prodotto notevole,differenza di quadrati)

[((3x^2-2)/(x-1)+(2(3x-1))/(x-3)×((3+x)(3-x))/(3x-1))×1/(x-2)+1]^2 ×( (x-1+x-2)/(x-1) )^(-3)

Secondo passaggio: nella prima moltiplicazione puoi semplificare mettendo in evidenza (-1)

((2(3x-1))/(x-3)×((3+x)(-1)(3-x))/(3x-1)) e ottieni [((3x^2-2)/(x-1)+ 2(-1)(3+x))×1/(x-2)+1]^2 ×( (2x-3)/(x-1) )^(-3)

Passaggi successivi:esegui la somma nella prima parentesi tonda con m.c.m. (x-1)

[((3x^2-2-2(3+x)(x-1))/(x-1))×1/(x-2)+1]^2 ×( (2x-3)/(x-1) )^(-3)

[((3x^2-2-2(3x-3+x^2-x))/(x-1))×1/(x-2)+1]^2 ×( (2x-3)/(x-1) )^(-3)

[((3x^2-2-6x+6-2x^2+2x)/(x-1))×1/(x-2)+1]^2 ×( (2x-3)/(x-1) )^(-3)

[((x^2-4x+4)/(x-1))×1/(x-2)+1]^2 ×( (2x-3)/(x-1) )^(-3)

A questo punto scomponi x2-4x+4 in (x-2)(x-2): è un trinomio caratteristico

[(((x-2)(x-2))/(x-1))×1/(x-2)+1]^2 ×( (2x-3)/(x-1) )^(-3)

Adesso semplifica (x-2) ed esegui l’addizione con m.c.m. (x-1)

[(((x-2))/(x-1))+1]^2 ×( (2x-3)/(x-1) )^(-3)

[(((x-2+x-1))/(x-1)) ]^2 ×( (2x-3)/(x-1) )^(-3)

( (2x-3)/(x-1) )^2×((2x-3)/(x-1) )^(-3)

Adesso applica la proprietà delle potenze. Questa è una moltiplicazione tra potenze che hanno la stessa base x^a×x^(b )=x^(a+b) ed è uguale ad una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti percio ti basta sommare gli esponenti (2)+(-3)= 2-3= -1 ed otterrai
( (2x-3)/(x-1) )^(-1) ossia ( (x-1)/(2x-3) )^

Aggiunto 55 secondi più tardi:

Scusami, volevo allegare un file word, ma non so come fare...nel file era scritto meglio.