Espressione con radicali

[vanpic]

(Esercizio fine biennio liceo scientifico)

1)Razionalizzare il denominatore dell'espressione:

`E=1/((n+1)sqrtn+nsqrt(n+1))`.

2)Metterla sotto forma di differenza di due quozienti aventi entrambi 1 come numeratore.

3)Calcolare, infine, come applicazione dei risultati trovati, la somma:

`s=1/(2sqrt1+1sqrt2)+1/(3sqrt2+2sqrt3)+...+1/(100sqrt99+99sqrt100)`.

Ho risolto così:
1)`E=1/((n+1)sqrtn+nsqrt(n+1))=1/(sqrt(n+1)(sqrt(n+1)sqrtn+n))=sqrt(n+1)/((n+1)(sqrt(n^2+n)+n))=(sqrt(n+1)(sqrt(n^2+n)-n))/((n+1)(n^2+n-n^2))=(sqrt(n+1)(sqrt(n+1)sqrtn-n))/(n(n+1))=((n+1)sqrtn-nsqrt(n+1))/(n(n+1))`

2)`E=((n+1)sqrtn-nsqrt(n+1))/(n(n+1))=sqrtn/n-sqrt(n+1)/(n+1)=1/sqrtn-1/sqrt(n+1)`

3)Per il terzo punto non so proprio cosa fare...dovrei usare i risultati precedenti...ma non mi viene in mente niente.

Grazie per qualsiasi suggerimento.

[@melia]

"vanpic":3)Per il terzo punto non so proprio cosa fare...dovrei usare i risultati precedenti...ma non mi viene in mente niente.
Grazie per qualsiasi suggerimento.

Non resta molto altro da fare, hai già fatto tutto tu:
da $1/((n+1)sqrtn+nsqrt(n+1))=1/sqrtn-1/sqrt(n+1)$ ricavi
$s=1/(2sqrt1+1sqrt2)+1/(3sqrt2+2sqrt3)+...+1/(100sqrt99+99sqrt100)=1/sqrt1-1/sqrt2+1/sqrt2-1/sqrt3+1/sqrt3-1/sqrt4 ... 1/sqrt99-1/sqrt100$
sommando ti restano solo il primo e l'ultimo addendo quindi
$s=1/(2sqrt1+1sqrt2)+1/(3sqrt2+2sqrt3)+...+1/(100sqrt99+99sqrt100)=1/sqrt1-1/sqrt100=1-1/10=9/10$

[G.D.5]

Non ho controllato i punti 1) e 2) ma penso siano corretti.
Per il 3). Somma telescopica.

P.S.
La somma telescopica è esattamente quello che ha scritto @melia, il cui messaggio non ho visto prima di postare.

[vanpic]

Grazie @melia e Wizard...non avevo pensato di usare la somma telescopica...e non sapevo nemmeno si chiamasse così