Esponenziali
Alcune equazioni:
1)
[tex]3^{1-x} -3^{2+x} = 1[/tex]
Provo a raccogliere:
[tex]3^{1-x}(1-3^{2x+1})=1[/tex] e che risolvo?
2)
[tex]2^{2x} - 5^x -4^{x-1} +25^{\frac{x}{2}-1}=0[/tex]
Qua la riscrivo:
[tex]2^{2x} - 5^x - 2^{2x-2} + 5^{x-2}=0[/tex]
[tex]2^{2x}(1-2^{-2}) = 5^x(1-5^{-2})[/tex]
[tex]\frac{2^{2x}(1-2^{-2})}{5^x(1-5^{-2})}=1[/tex]
Alla fine arrivo a $(2^(2x-5))/(5^(x-2)) =1$
Da cui ottengo $(4^x)/(5^x) = 25/32$ Mentre nelle soluzioni sul libro viene $32/25$.
1)
[tex]3^{1-x} -3^{2+x} = 1[/tex]
Provo a raccogliere:
[tex]3^{1-x}(1-3^{2x+1})=1[/tex] e che risolvo?
2)
[tex]2^{2x} - 5^x -4^{x-1} +25^{\frac{x}{2}-1}=0[/tex]
Qua la riscrivo:
[tex]2^{2x} - 5^x - 2^{2x-2} + 5^{x-2}=0[/tex]
[tex]2^{2x}(1-2^{-2}) = 5^x(1-5^{-2})[/tex]
[tex]\frac{2^{2x}(1-2^{-2})}{5^x(1-5^{-2})}=1[/tex]
Alla fine arrivo a $(2^(2x-5))/(5^(x-2)) =1$
Da cui ottengo $(4^x)/(5^x) = 25/32$ Mentre nelle soluzioni sul libro viene $32/25$.
Risposte
"xXStephXx":Infatti non conviene raccogliere.
[tex]3^{1-x} -3^{2+x} = 1[/tex]
Provo a raccogliere:
[tex]3^{1-x}(1-3^{2x+1})=1[/tex] e che risolvo?
Suggerisco una sostituzione : $3^x=t$
Fai bene i conti e arrivi ad un'equazione di secondo grado
1) Prova a porre [tex]3^x=t[/tex].
2) Hai sbagliato l'ultimo passaggio di calcoli. Per "portare di là" devi moltiplicare per l'inverso.
Paola
2) Hai sbagliato l'ultimo passaggio di calcoli. Per "portare di là" devi moltiplicare per l'inverso.
Paola
Per la prima: sfrutta le proprietà delle potenze per scogliere le potenze in base [tex]3[/tex], quindi moltiplica a destra ed a sinistra per il minimo comune denominatore ed infine risolvi (eventualmente con una sostituzione).
Per la seconda: al secondo passaggio dividi per [tex]5^{x}(1-2^{-2})[/tex].
Per la seconda: al secondo passaggio dividi per [tex]5^{x}(1-2^{-2})[/tex].
Giusto!! nella seconda ho invertito denominatore con numeratore perchè ho moltiplicato anzichè dividere.
Che velocità.. complimenti.. mi avete risposto in tanti in pochissimo tempo!
Ok sostituendo [tex]3^x[/tex] con [tex]t[/tex] mi viene..
Che velocità.. complimenti.. mi avete risposto in tanti in pochissimo tempo!
Ok sostituendo [tex]3^x[/tex] con [tex]t[/tex] mi viene..
[tex]e^{\frac{3x+8}{2}} - e^{\frac{x+2}{2}} +e^{x+3} -1=0[/tex]
Scusate sono i primissimi esercizi che faccio di questo tipo...
Questo caso è diverso dai precedenti.
Infatti la $x$ compare come esponente a basi uguali (a differenza del secondo esercizio che ho messo) ed è diversa anche dal primo perchè non posso scomporre le potenze in modo da ottenere un coefficiente numerico razionale.
Per risolverla avevo pensato di sostituire sempre $e^x$ con $t$, i coefficienti però rimangono in potenze di $e$, magari dopo aver trovato le soluzioni per l'incognità $t$ posso eguagliare a $e^x$ e risolvere un'altra equazione. Però viene complicato..
Scusate sono i primissimi esercizi che faccio di questo tipo...
Questo caso è diverso dai precedenti.
Infatti la $x$ compare come esponente a basi uguali (a differenza del secondo esercizio che ho messo) ed è diversa anche dal primo perchè non posso scomporre le potenze in modo da ottenere un coefficiente numerico razionale.
Per risolverla avevo pensato di sostituire sempre $e^x$ con $t$, i coefficienti però rimangono in potenze di $e$, magari dopo aver trovato le soluzioni per l'incognità $t$ posso eguagliare a $e^x$ e risolvere un'altra equazione. Però viene complicato..
Questa non è proprio facilissima, in effetti. Si risolve con un raccoglimento parziale
Ah, era prorpio la strategia che avevo escluso a priori, ora provo a raccogliere.
Ok grazie 1000!!! Mi viene
$e^((3x+8)/2) - e^((x+2)/2) + e^((2x+6)/2) -1=0$
$e^((2x+6)/2)(1+e^((x+2)/2))-1(e^((x+2)/2)+1)=0;
$(e^((2x+6)/2)-1)(e^((x+2)/2) +1) = 0$
Da cui ricavo $2x+6=0$ $x=-3$
PS: come si fa a trovare il procedimento giusto in poco tempo?
Cioè devo ogni volta provarle tutte? (Perchè qua ad occhio non notavo che si potessero raccogliere, quindi difficilmente l'avrei visto).
$e^((3x+8)/2) - e^((x+2)/2) + e^((2x+6)/2) -1=0$
$e^((2x+6)/2)(1+e^((x+2)/2))-1(e^((x+2)/2)+1)=0;
$(e^((2x+6)/2)-1)(e^((x+2)/2) +1) = 0$
Da cui ricavo $2x+6=0$ $x=-3$
PS: come si fa a trovare il procedimento giusto in poco tempo?
Cioè devo ogni volta provarle tutte? (Perchè qua ad occhio non notavo che si potessero raccogliere, quindi difficilmente l'avrei visto).
Un po' di esperienza, prima di tutto. E tanto, tanto esercizio 
xD meglio così in fondo.
Riesumo questa discussione eh?
$(logx)(logx^2)+logx^3-9=0$
Io ho ragionato e sono arrivato a:
$log(x)^(2logx) = loge^9x^(-3)$
E ora?
$(logx)(logx^2)+logx^3-9=0$
Io ho ragionato e sono arrivato a:
$log(x)^(2logx) = loge^9x^(-3)$
E ora?
Io ripartirei dall'inizio così:
$log(x) * log(x^2) + log(x^3) -9 = 0$
$log(x) * 2 * log(x) + 3 * log(x) - 9 = 0$
$2 * [log(x)]^2 + 3 * log(x) - 9 = 0$
E' un'equazione di 2° grado nell'incognita $log(x)$
$log(x) = (-3 +- sqrt(9 + 72))/4 = (-3 +- 9)/4 = -3, 3/2$
e per finire bisognerebbe sapere la base dei logaritmi ....
comunque $x_1 = base^(-3) = 1/(base^3)$ e $x_2 = base^(3/2) = base*sqrt(base)$
$log(x) * log(x^2) + log(x^3) -9 = 0$
$log(x) * 2 * log(x) + 3 * log(x) - 9 = 0$
$2 * [log(x)]^2 + 3 * log(x) - 9 = 0$
E' un'equazione di 2° grado nell'incognita $log(x)$
$log(x) = (-3 +- sqrt(9 + 72))/4 = (-3 +- 9)/4 = -3, 3/2$
e per finire bisognerebbe sapere la base dei logaritmi ....
comunque $x_1 = base^(-3) = 1/(base^3)$ e $x_2 = base^(3/2) = base*sqrt(base)$
evitando di eprire un altra discussione...
-qual'è esattamente il passaggio affinche il 2 che moltiplica $3^(x-3)$ passi al $2^(x-2)$ diventando $2^(x-3)$ ?
-se per esempio raccolgo per $2^(x-2)$ il primo passaggio (con tutto al primo menbro) viene cosi :
$2^(x-2)(2^(-x+3)*(3^(x-3))/(2^(x-2))-2)$ ?
grazie
-qual'è esattamente il passaggio affinche il 2 che moltiplica $3^(x-3)$ passi al $2^(x-2)$ diventando $2^(x-3)$ ?
-se per esempio raccolgo per $2^(x-2)$ il primo passaggio (con tutto al primo menbro) viene cosi :
$2^(x-2)(2^(-x+3)*(3^(x-3))/(2^(x-2))-2)$ ?
grazie
Semplicemente, si è diviso ambo i membri per $2$, ovvero si è moltiplicato per $2^(-1)$.
Quindi si ha $3^(x-3)=2^(x-2)*2^(-1)$
Proprietà delle potenze: $2^(x-2)*2^(-1)=2^(x-2-1)=2^(x-3)$
Quindi si ha $3^(x-3)=2^(x-2)*2^(-1)$
Proprietà delle potenze: $2^(x-2)*2^(-1)=2^(x-2-1)=2^(x-3)$
ahhhh ecco!!! Perfetto!
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