Esponenziale
Ho questa equazione:
[tex]x^2^x=e[/tex]
Sono riuscito a risolverla graficamente, ponendo cioè [tex]x^2=e^1^/^x[/tex] e trovando sul grafico il punto d'intersezione tra la parabola e l'esponenziale. Ma c'è un modo per risolvere l'equazione algebricamente, cioè senza far ricorso ad alcuna rappresentazione grafica? Grazie in anticipo!
[tex]x^2^x=e[/tex]
Sono riuscito a risolverla graficamente, ponendo cioè [tex]x^2=e^1^/^x[/tex] e trovando sul grafico il punto d'intersezione tra la parabola e l'esponenziale. Ma c'è un modo per risolvere l'equazione algebricamente, cioè senza far ricorso ad alcuna rappresentazione grafica? Grazie in anticipo!
Risposte
utilizza la formula $f(x)^g(x)=e^(g(x)logf(x))$ al primo membro
Applicando la formula ottengo:
[tex]2x\cdot log(x)=1[/tex]
e quindi dividendo per [tex]2x[/tex] ottengo:
[tex]\displaystyle{log(x)=\frac{1}{2x}}[/tex]
Ma per risolvere questo, devo comunque ricorrere ad una rappresentazione grafica, ovvero devo trovare il punto di intersezione tra il logaritmo e la funzione omografica mediante un grafico. Algebricamente non ho capito come poterlo risolvere. Puoi darmi una mano?
[tex]2x\cdot log(x)=1[/tex]
e quindi dividendo per [tex]2x[/tex] ottengo:
[tex]\displaystyle{log(x)=\frac{1}{2x}}[/tex]
Ma per risolvere questo, devo comunque ricorrere ad una rappresentazione grafica, ovvero devo trovare il punto di intersezione tra il logaritmo e la funzione omografica mediante un grafico. Algebricamente non ho capito come poterlo risolvere. Puoi darmi una mano?
Penso che l'unico modo per risolvere questa funzione non geometricamente, sia l'utilizzo della funzione $W$ di Lambert.
A dire il vero, scusate la mia ignoranza, non ho mai sentito parlare della funzione di Lambert 
. Sarà perché frequento il quarto liceo scientifico... siate comprensivi, per favore: di che si tratta? Ho surfato su wikipedia e non c'ho capito niente http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_generatrice. Potete spiegarmela terra terra, cosicché possa applicarla a quell'equazione?
Grazie, per la vostra infinita pazienza.
. Sarà perché frequento il quarto liceo scientifico... siate comprensivi, per favore: di che si tratta? Ho surfato su wikipedia e non c'ho capito niente http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_generatrice. Potete spiegarmela terra terra, cosicché possa applicarla a quell'equazione?Grazie, per la vostra infinita pazienza.
C'è un piccolo errore nel tuo passaggio di trasformazione, perchè applicando la formula che ti ho suggerito prima arrivi ad una situazione del genere:
$e^(2xlogx)=1$
ora ricordando che $e^0=1$ arrivi $2xlogx=0$
$e^(2xlogx)=1$
ora ricordando che $e^0=1$ arrivi $2xlogx=0$
Sì, è vero, ho sbagliato la trasformazione. Comunque provando a risolvere l'equazione:
[tex]2xlogx=0[/tex]
Questo è un prodotto di fattori. x non può essere uguale a 0 altrimenti non saprei cosa dire del logaritmo. Quindi log(x) è uguale a zero quando x=1. Ma se questa soluzione la inserisco nell'equazione originale:
[tex]x^2^x=e[/tex]
trovo che [tex]1=e[/tex] e questo non è vero. Forse mi sto sbagliando ancora
Sarei curioso di veder cosa sia questa funzione di Lambert, forse è davvero l'unica che porta alla soluzione algebrica.
[tex]2xlogx=0[/tex]
Questo è un prodotto di fattori. x non può essere uguale a 0 altrimenti non saprei cosa dire del logaritmo. Quindi log(x) è uguale a zero quando x=1. Ma se questa soluzione la inserisco nell'equazione originale:
[tex]x^2^x=e[/tex]
trovo che [tex]1=e[/tex] e questo non è vero. Forse mi sto sbagliando ancora
Sarei curioso di veder cosa sia questa funzione di Lambert, forse è davvero l'unica che porta alla soluzione algebrica.
"Lorin":Se la traccia iniziale non era sbagliata, io arrivo a $e^(2xlogx)=e^1$. La distrazione può tradire tutti.
C'è un piccolo errore nel tuo passaggio di trasformazione, perchè applicando la formula che ti ho suggerito prima arrivi ad una situazione del genere:
$e^(2xlogx)=1$
Fai attenzione!
$logx=0 => x=1$ non è per niente vero! in quanto il logaritmo in zero non è proprio definito.
E comunque il problema rimane indefinito in quanto arrivando $2xlogx=0$ non posso più andare avanti in quanto $x=0$ non si può accettare come soluzione. Quindi le opzioni sono: o hai sbagliato a copiare la traccia dell'esercizio oppure è sbagliato il testo dell'esercizio oppure il tuo prof è uscito pazzo (con tutto il rispetto^^). Perchè penso che usare la funzione di Lambert al quarto anno del liceo, dove a stento i ragazzi imparano ad usare le funzioni goniometriche, mi sembra alquanto strano, anche perchè il vero studio delle funzioni poi si fa al quinto anno.
EDIT:
@Gianmaria: Io avevo capito che il problema era risolvere $x^(2x)=1$, chiedo scusa allora.
$logx=0 => x=1$ non è per niente vero! in quanto il logaritmo in zero non è proprio definito.
E comunque il problema rimane indefinito in quanto arrivando $2xlogx=0$ non posso più andare avanti in quanto $x=0$ non si può accettare come soluzione. Quindi le opzioni sono: o hai sbagliato a copiare la traccia dell'esercizio oppure è sbagliato il testo dell'esercizio oppure il tuo prof è uscito pazzo (con tutto il rispetto^^). Perchè penso che usare la funzione di Lambert al quarto anno del liceo, dove a stento i ragazzi imparano ad usare le funzioni goniometriche, mi sembra alquanto strano, anche perchè il vero studio delle funzioni poi si fa al quinto anno.
EDIT:
@Gianmaria: Io avevo capito che il problema era risolvere $x^(2x)=1$, chiedo scusa allora.
Chiarifico la questione: il mio prof. di matematica, in effetti è un po' folle 
, ma non fino a questo punto. Lui ci aveva detto di risolverla geometricamente, il che è abbastanza facile: basta vedere quando la parabola incontra l'esponenziale, o quando la funzione omografica incontra il logaritmo naturale. Ma così facendo trovo che la soluzione si trova in un determinato intervallo (a me veniva tra 1 e 2).
In effetti buttando dentro qualche numero viene che la soluzione si aggira intorno a 1,42. Ma chi mi dice che, senza buttare numeri a caso nell'equazione iniziale, guardando solo il grafico, la soluzione non sia 1,32 o 1,45? Per questo chiedevo un metodo di risoluzione algebrica e sarebbe davvero istruttivo se qualcuno lo postasse. Lo studio di funzioni si fa in quinto, ma posso sforzarmi a capire: è l'obiettivo per cui mi sono iscritto. Grazie ancora per l'infinita pazienza.
, ma non fino a questo punto. Lui ci aveva detto di risolverla geometricamente, il che è abbastanza facile: basta vedere quando la parabola incontra l'esponenziale, o quando la funzione omografica incontra il logaritmo naturale. Ma così facendo trovo che la soluzione si trova in un determinato intervallo (a me veniva tra 1 e 2).In effetti buttando dentro qualche numero viene che la soluzione si aggira intorno a 1,42. Ma chi mi dice che, senza buttare numeri a caso nell'equazione iniziale, guardando solo il grafico, la soluzione non sia 1,32 o 1,45? Per questo chiedevo un metodo di risoluzione algebrica e sarebbe davvero istruttivo se qualcuno lo postasse. Lo studio di funzioni si fa in quinto, ma posso sforzarmi a capire: è l'obiettivo per cui mi sono iscritto. Grazie ancora per l'infinita pazienza.
Ho capito e ti apprezzo per lo sforzo e per la passione che ci metti nel cercare di comprendere delle cose che spero, bene o male, studierai l'anno prossimo. Studiando all'università matematica, se non avessi avuto quella svista prima, ti avrei subito consigliato di studiarla graficamente la soluzione dell'equazione in oggetto, ma se dovessi spiegarti algebricamente come si trova non saprei farlo, anche perchè non conosco le proprietà della funzione di Lambert, quindi passo la palla a qualcuno più esperto di me.
Grazie per quanto hai detto e per la tua dedizione. In effetti cerco di sforzarmi a capire le cose, piuttosto che ad applicarle sterilmente: sono curioso di vedere la funzione di Lambert applicata a quell'esercizio: speriamo che qualcuno posti la soluzione algebrica (sono curioso ).
).
Non conosco la funzione di Lambert; a parte questa, una risoluzione algebrica non c'è, e anche lo studio di funzione non risolverebbe il tuo problema. Ci sono invece molti metodi per rendere abbastanza precisa la soluzione ottenuta graficamente: con una buona calcolatrice si arriva verso le 5 cifre dopo la virgola, talvolta anche di più. Ti descrivo quello che è detto il metodo della corda, che è abbastanza rapido e perfettamente comprensibile a chi conosce un po' di analitica.
Comincia a scrivere l'equazione nella forma $f(x)=0$: nel tuo caso sarà $f(x)=x^(2x)-e$. Determina poi un intervallo $(a,b)$ che abbia la soluzione al suo interno: può andare bene l'intervallo (1,2) di cui parli ma il metodo è più veloce se l'intervallo è stretto: suggerisco quello fra 1,4 e 1,5. Calcola $f(a)$ ed $f(b)$: devi ottenere due valori con segni diversi, perché in quell'intervallo la curva $y=f(x)$ attraversa l'asse x. Ora sai che quella curva passa per $A[a,f(a)]$ e $B[b,f(b)]$ e puoi tracciare la corda AB, che incontra l'asse x in un punto $c$. Usando le formule di analitica per le rette, trovi facilmente che si ha
$c=(af(b)-bf(a))/(f(b)-f(a))$
Se la curva non è molto "curvata", quasi si confonde con la sua corda, quindi $c$ è all'incirca la soluzione cercata. E' bene però migliorare ancora, e per questo calcoli $f(c)$: se è zero, ovviamente hai finito ed hai il risultato esatto; altrimenti avrà segno uguale ad uno dei precedenti. Supponendo che abbia lo stesso segno di $f(a)$, metti $c$ al posto di $a$ e ripeti il procedimento. Puoi continuare così quante volte vuoi; di solito dopo pochi passggi noti che i valori di $c$ restano praticamente invariati, e quella è la soluzione.
Comincia a scrivere l'equazione nella forma $f(x)=0$: nel tuo caso sarà $f(x)=x^(2x)-e$. Determina poi un intervallo $(a,b)$ che abbia la soluzione al suo interno: può andare bene l'intervallo (1,2) di cui parli ma il metodo è più veloce se l'intervallo è stretto: suggerisco quello fra 1,4 e 1,5. Calcola $f(a)$ ed $f(b)$: devi ottenere due valori con segni diversi, perché in quell'intervallo la curva $y=f(x)$ attraversa l'asse x. Ora sai che quella curva passa per $A[a,f(a)]$ e $B[b,f(b)]$ e puoi tracciare la corda AB, che incontra l'asse x in un punto $c$. Usando le formule di analitica per le rette, trovi facilmente che si ha
$c=(af(b)-bf(a))/(f(b)-f(a))$
Se la curva non è molto "curvata", quasi si confonde con la sua corda, quindi $c$ è all'incirca la soluzione cercata. E' bene però migliorare ancora, e per questo calcoli $f(c)$: se è zero, ovviamente hai finito ed hai il risultato esatto; altrimenti avrà segno uguale ad uno dei precedenti. Supponendo che abbia lo stesso segno di $f(a)$, metti $c$ al posto di $a$ e ripeti il procedimento. Puoi continuare così quante volte vuoi; di solito dopo pochi passggi noti che i valori di $c$ restano praticamente invariati, e quella è la soluzione.
Grazie mille, davvero. Il metodo della corda non lo conoscevo, ma a quanto pare è utilissimo. Credo che in fisica (prendiamo una piattaforma che oscilla ed un grave che cade su di essa), l'intersezione tra il grafico del moto armonico e quello di caduta dei gravi sia facile ricavarlo graficamente col metodo della corda, piuttosto che facendo il sistema tra l'equazione del moto armonico con quello del grave
Prego.
Il metodo della corda può servire per qualunque equazione e quindi anche per il problema che citi; mi pare però che il sistema sia indispensabile per conoscere la $f(x)$. Inoltre è necessario fare prima una soluzione grafica per individuare un intervallo in cui ci sia una sola soluzione: se in $(a,b)$ ce ne sono due o più, il metodo ha buone probabilità di non funzionare.
Il metodo della corda può servire per qualunque equazione e quindi anche per il problema che citi; mi pare però che il sistema sia indispensabile per conoscere la $f(x)$. Inoltre è necessario fare prima una soluzione grafica per individuare un intervallo in cui ci sia una sola soluzione: se in $(a,b)$ ce ne sono due o più, il metodo ha buone probabilità di non funzionare.
con l'ausilio del teorema degli zeri...^^
Dunque se non sbaglio la soluzione tramite la funzione $W$ di Lambert dovrebbe essere la seguente:
$x^(2x)=e$
$x^x=e^(1/2)$
In generale se $x^x=z$ allora $x=(ln(z))/(W(ln(z)))
Quindi $ x=(ln(e^(1/2)))/(W(ln (e^(1/2)))
La soluzione pertanto è $x=1/(2 W (1/2))$ che è l'equivalente di $x = e^(W(1/2))$ quindi $x~~1.42153$
Qualora io abbia scritto delle porcherie prego di essere corretto
$x^(2x)=e$
$x^x=e^(1/2)$
In generale se $x^x=z$ allora $x=(ln(z))/(W(ln(z)))
Quindi $ x=(ln(e^(1/2)))/(W(ln (e^(1/2)))
La soluzione pertanto è $x=1/(2 W (1/2))$ che è l'equivalente di $x = e^(W(1/2))$ quindi $x~~1.42153$
Qualora io abbia scritto delle porcherie prego di essere corretto
FORTE! E' proprio 1.42, il risultato che esce col metodo della corda! Quindi da quello che hai scritto (uso il tu), la funzione di Lambert mi permette il passaggio da [tex]y=xe^x[/tex] a [tex]x=W(y)[/tex]. Però non ho capito perché in generale vale ciò che dici, ovvero:
[tex]x=\frac{ln(z)}{W(ln(z))}[/tex]
Potresti cortesemente spiegare questo passaggio? Grazie in anticipo.
[tex]x=\frac{ln(z)}{W(ln(z))}[/tex]
Potresti cortesemente spiegare questo passaggio? Grazie in anticipo.
Ho scritto in generale se $x^x=z$ come si poteva condurre il tuo caso $x^(2x)=e$ l'ho prima trasformato in $x^x=e^(1/2)$ e poi ho applicato la proprietà.
La proprietà è dimostrabile, vedo se domani la riesco a fare.
La proprietà è dimostrabile, vedo se domani la riesco a fare.
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