Esplicitare variabile di equazione trigonometrica.

[curie88]

Buon giorno a tutti,
La mia richiesta è la seguente:
E' sempre possibile esplicitare una variabile quando compare in un equazione trigonometrica?

Per esempio, data la banale equazione:
$x = sin(x)$

che ammette almeno una soluzione banale $x = 0$, è possibile esplicitare $x$?
Se si come?
Chiaramente se applico l'arcoseno ambo i membri ottengo:
$arcsin(x) = x$

quindi sembra un cane che si morde la coda....

[anto_zoolander]

Non penso qui sia adatto per parlare di polinomi di taylor, e non ne sono nemmeno certissimo, ma si potrebbe approssimare $sinx$ proprio con taylor.

Comunque c'è solo quella soluzione.

[curie88]

Capisco...ci sono altri modi? Perché quello lo dovrei escludere...

tra l'altro l' equazione è leggermente più complessa, del tipo:

$x = ksin(x/k)$

[anto_zoolander]

Allora intanto rileggendo quello che hai scritto prima:

$x=arcsin(x)$

Nì. Questo vale solo se $x in[-1,1]$ sennò l'arcoseno non è definito.
Poi anche l'equazione

$x=ksin(x/k)$

Ha solo una soluzione basta scriverlo come:

Essendo $kne0$ si può dividere per $k$ dunque $sin(x/k)=x/k$

Ora ponendo $x/k=z=>sin(z)=z$ che è quella di prima.

Nota che $x/k=z$ vale per ogni $x inRR,kne0$

Un altro modo è notare che la funzione $f(x)=sin(x/k)$ ha $f'(x)=cos(x/k)/k$
e quindi coefficiente angolare all'origine di $f(0)=1/k$ e non è mai nulla.

$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)=1/k(x-0)+0=x/k$

Ovvero a secondo membro abbiamo la tangente della funzione in $0$.

La derivata seconda è $f''(x)=-sin(x/k)/k^2$ da cui si nota che in un intorno destro di $0$ è concava in un intorno sinistro di $0$ è convessa. Il tutto unito alla periodicità ci assicura che non ci siano altre intersezioni.