Esercizio Test Matematica
Salve a tutti !!
qualche giorno fa ho fatto lo scritto di mate, passato con un bel voto, ma non sono proprio riuscito a fare un esercizio !
mi ci sono messo e rimesso, ma niente... !
spero che voi possiate aiutarmi a estinguere questo problema, anche perché tra un paio di giorni ho l'orale !
Esercizio
[size=200]g(x) =[/size]
a) sia k = 1 + e^2 / ( e + 2 ), determinare le primitive della funzione g.
b) determinare k in modo che l'area di piano compresa tra l'asse delle x, il grafico della funzione g e le rette x = -2 e
y = 1 sia uguale ad uno.
c) per quali k la funzione integrale associata a g in [-2, 4] è una primitiva di g ?
Spero che mi possiate aiutare !
p.s. mi scuso se ho messo l'immagine, ma anche utilizzando i codici in 'formule' non mi visualizzava i simboli... !
qualche giorno fa ho fatto lo scritto di mate, passato con un bel voto, ma non sono proprio riuscito a fare un esercizio !
mi ci sono messo e rimesso, ma niente... !
spero che voi possiate aiutarmi a estinguere questo problema, anche perché tra un paio di giorni ho l'orale !
Esercizio
[size=200]g(x) =[/size]
a) sia k = 1 + e^2 / ( e + 2 ), determinare le primitive della funzione g.
b) determinare k in modo che l'area di piano compresa tra l'asse delle x, il grafico della funzione g e le rette x = -2 e
y = 1 sia uguale ad uno.
c) per quali k la funzione integrale associata a g in [-2, 4] è una primitiva di g ?
Spero che mi possiate aiutare !
p.s. mi scuso se ho messo l'immagine, ma anche utilizzando i codici in 'formule' non mi visualizzava i simboli... !
Risposte
Che fortuna che state studiando già queste cose all'inizio dell'anno scolastico,noi abbiamo a malapena iniziato le derivate.
Io ho calcolato tutte le primitive della funzione. E te le posto scannerizzate perchè non mi va di copiarle.
Però la traccia non mi convince. Da quanto si capisce k è una costante reale..?
Poi le rette entro le quali deve essere compresa la funzione sono x=-1 e y=1 oppure c'è un errore?
In attesa di risposta ti invio la mia risoluzione del primo punto .
Io ho calcolato tutte le primitive della funzione. E te le posto scannerizzate perchè non mi va di copiarle.
Però la traccia non mi convince. Da quanto si capisce k è una costante reale..?
Poi le rette entro le quali deve essere compresa la funzione sono x=-1 e y=1 oppure c'è un errore?
In attesa di risposta ti invio la mia risoluzione del primo punto .
"floriano94":
Però la traccia non mi convince. Da quanto si capisce k è una costante reale..?
Poi le rette entro le quali deve essere compresa la funzione sono x=-1 e y=1 oppure c'è un errore?
cavolo ! e avevo pure ricontrollato !
le rete sono x= -2 e y= 1 (sorry !)
per k, io credo sia reale, anche se nel testo dell'esercizio o nel test non c'è nulla del tipo " k appartiene a "
grazie per le scan comunque
Si ma non era quello l'errore che mi aspettavo ci fosse. Il secondo punto non mi convince proprio, per un semplice motivo: non è possibile delimitare un'area finita a quelle condizioni . Ti posto il grafico e dimmi tu poi se intravedi qualche soluzione. Ci deve essere un problema con la traccia.
grazie flo !
Prego ,figurati
Non c'è nessun imprecisione nel testo. Ora lo imposto e poi lo invio.
Dato $k=1+e^2/(e+2)$
$g(x)={(k,if -2<=x<1) , (x^2*ln(x^2)+x/sqrt(x) + e^(2x)/(e^x+2), if x>=1):}={(1+e^2/(e+2),if -2<=x<1) , (x^2*ln(x^2)+x/sqrt(x) + e^(2x)/(e^x+2), if x>=1):}$
questa risulta definita sul dominio $D_{g} = {x in RR : x in [-2,+oo)}$. Pertando quando nell'esercizio ti viene chiesto di calcolare l'area tra $x=-2$ e un'altra retta, semplicemente ti viene data l'informazione che l'area va calcolata dall' "inizio" del dominio. Nota che in una della disuguaglianze (dove c'è come estremo $1$), NON deve esserci l'uguale: altrimenti non si tratterebbe di una funzione. La questione è delicata e apparentemente stupida, ma tutt'altro. Nel caso in esame, per $k=1+e^2/(e+2)$, la funzione avrebbe assunto in $x=1$ lo stesso valore; tuttavia per un generico $k$ no (e sarebbe risultato un "problema"). La funzione è infatti fatta così.
Nota che la funzione risulta continua su tutto il dominio proprio per la scelta di $k=1+e^2/(e+2)$. Come ha segnalato floriano94, la primitiva della funzione risulta:
$G(x)={(x*(1+e^2/(e+2))+ C_1,if -2<=x<1) , (e^x-2*ln(e^x+2)+(x^3*ln(x^2))/3-(2*x^3)/9+(2*x sqrt(x))/3 + C_2, if x>=1):}$
Ciò premesso, per fare l'esercizio al punto 2 bisogna farsi furbi. E' veramente una banalità, ma bisogna capire cosa dice il testo. Si dice di trovare $k$ in modo che l'area (dopo la retta $x=-2$) del grafico e la retta $y=1$ deve essere pari ad uno. Dal momento che ti trovi in $[-2,1]$ si tratta solo di calcolare l'area di un rettangolo (e quindi non servono gli integrali!). La base del rettangolo sai che è:
$b = |1-(-2)|=3$
l'altezza invece è la distanza tra la funzione e $y=1$, quindi:
$h = |k-1|$
L'area di questo rettangolo deve essere pari a $1$, quindi se $k>=1$:
$b*h=1$
$3*(k-1)=1$
$k=4/3$
Se $k<1$:
$b*h=1$
$3*(1-k)=1$
$k=2/3$
L'immagine sotto dovrebbe chiariti l'idea (l'area è quella gialla e corrisponde a $k=4/3$).
Come vedi, per $k=4/3$ la funzione presenta una discontinuità di prima specie. In effetti è scritto abbastanza male il punto dell'esercizio, ma deve essere per forza così (l''ipotesi in più è che ci si ferma in $x=1$). Se si consierasse l'area per $x in [2,+oo)$, a prescindere da $k$, l'area è infinita.
$g(x)={(k,if -2<=x<1) , (x^2*ln(x^2)+x/sqrt(x) + e^(2x)/(e^x+2), if x>=1):}={(1+e^2/(e+2),if -2<=x<1) , (x^2*ln(x^2)+x/sqrt(x) + e^(2x)/(e^x+2), if x>=1):}$
questa risulta definita sul dominio $D_{g} = {x in RR : x in [-2,+oo)}$. Pertando quando nell'esercizio ti viene chiesto di calcolare l'area tra $x=-2$ e un'altra retta, semplicemente ti viene data l'informazione che l'area va calcolata dall' "inizio" del dominio. Nota che in una della disuguaglianze (dove c'è come estremo $1$), NON deve esserci l'uguale: altrimenti non si tratterebbe di una funzione. La questione è delicata e apparentemente stupida, ma tutt'altro. Nel caso in esame, per $k=1+e^2/(e+2)$, la funzione avrebbe assunto in $x=1$ lo stesso valore; tuttavia per un generico $k$ no (e sarebbe risultato un "problema"). La funzione è infatti fatta così.
Nota che la funzione risulta continua su tutto il dominio proprio per la scelta di $k=1+e^2/(e+2)$. Come ha segnalato floriano94, la primitiva della funzione risulta:
$G(x)={(x*(1+e^2/(e+2))+ C_1,if -2<=x<1) , (e^x-2*ln(e^x+2)+(x^3*ln(x^2))/3-(2*x^3)/9+(2*x sqrt(x))/3 + C_2, if x>=1):}$
Ciò premesso, per fare l'esercizio al punto 2 bisogna farsi furbi. E' veramente una banalità, ma bisogna capire cosa dice il testo. Si dice di trovare $k$ in modo che l'area (dopo la retta $x=-2$) del grafico e la retta $y=1$ deve essere pari ad uno. Dal momento che ti trovi in $[-2,1]$ si tratta solo di calcolare l'area di un rettangolo (e quindi non servono gli integrali!). La base del rettangolo sai che è:
$b = |1-(-2)|=3$
l'altezza invece è la distanza tra la funzione e $y=1$, quindi:
$h = |k-1|$
L'area di questo rettangolo deve essere pari a $1$, quindi se $k>=1$:
$b*h=1$
$3*(k-1)=1$
$k=4/3$
Se $k<1$:
$b*h=1$
$3*(1-k)=1$
$k=2/3$
L'immagine sotto dovrebbe chiariti l'idea (l'area è quella gialla e corrisponde a $k=4/3$).
Come vedi, per $k=4/3$ la funzione presenta una discontinuità di prima specie. In effetti è scritto abbastanza male il punto dell'esercizio, ma deve essere per forza così (l''ipotesi in più è che ci si ferma in $x=1$). Se si consierasse l'area per $x in [2,+oo)$, a prescindere da $k$, l'area è infinita.
Sul terzo punto ho qualche dubbio... ma non vedo altro modo per risolverlo.
La funzione integrale associata a $g$ in $[-2,4]$ risulta essere:
$H(k)=int_{-2}^4 g(x) *text{d} x= {(int_{-2}^1 k * text{d} x ,if -2<=x<1) , (int_1^4 (x^2*ln(x^2)+x/sqrt(x) + e^(2x)/(e^x+2)) * text{d} x , if x>=1):} =$
$= {(3 *k ,if -2<=x<1) , ( e^4 - e - 2*ln((e^4 + 2)/(e + 2)) + 256*ln(2)/3 - 28/3, if x>=1):}$
Il testo chiede per quali $k$ la funzione integrale associata a $g$ in $[-2, 4]$ è una primitiva di $g$. La generica primitiva di $g$, risulta :
$G(x,k)={(x*k+ C_1,if -2<=x<1) , (e^x-2*ln(e^x+2)+(x^3*ln(x^2))/3-(2*x^3)/9+(2*x sqrt(x))/3 + C_2, if x>=1):}$
Io direi che per $k in RR$ la funzione $H(k)$ risulta essere primitiva di $g$....ma mi pare strana come risposta...
La funzione integrale associata a $g$ in $[-2,4]$ risulta essere:
$H(k)=int_{-2}^4 g(x) *text{d} x= {(int_{-2}^1 k * text{d} x ,if -2<=x<1) , (int_1^4 (x^2*ln(x^2)+x/sqrt(x) + e^(2x)/(e^x+2)) * text{d} x , if x>=1):} =$
$= {(3 *k ,if -2<=x<1) , ( e^4 - e - 2*ln((e^4 + 2)/(e + 2)) + 256*ln(2)/3 - 28/3, if x>=1):}$
Il testo chiede per quali $k$ la funzione integrale associata a $g$ in $[-2, 4]$ è una primitiva di $g$. La generica primitiva di $g$, risulta :
$G(x,k)={(x*k+ C_1,if -2<=x<1) , (e^x-2*ln(e^x+2)+(x^3*ln(x^2))/3-(2*x^3)/9+(2*x sqrt(x))/3 + C_2, if x>=1):}$
Io direi che per $k in RR$ la funzione $H(k)$ risulta essere primitiva di $g$....ma mi pare strana come risposta...
fede.univehai ragione per quanto riguarda la soluzione del punto due molto probabilmente è così, anche io pensavo ad un interpretazione del genere. Però devi ammettere che la traccia è scritta in modo approssimativo , anche se, se non erro, non hai considerato una condizione, quella che ho evidenziato in rosso ,che daltronde mi sembra impossibile da considerare:
"Teo_992":
b) determinare k in modo che l'area di piano compresa tra l'asse delle x, il grafico della funzione g e le rette x = -2 e
y = 1 sia uguale ad uno.
OT
ciao flo, nel tuo avatar è raffigurato un canale veneziano? (magari col ponte di rialto laggiù nello sfondo?)
OT
ciao flo, nel tuo avatar è raffigurato un canale veneziano? (magari col ponte di rialto laggiù nello sfondo?)
OT
"floriano94":[/quote]
fede.univehai ragione per quanto riguarda la soluzione del punto due molto probabilmente è così, anche io pensavo ad un interpretazione del genere. Però devi ammettere che la traccia è scritta in modo approssimativo , anche se, se non erro, non hai considerato una condizione, quella che ho evidenziato in rosso ,che daltronde mi sembra impossibile da considerare:
[quote="Teo_992"]
b) determinare k in modo che l'area di piano compresa tra l'asse delle x, il grafico della funzione g e le rette x = -2 e
y = 1 sia uguale ad uno.
Sì, pienamente d'accordo. Ma alcuni potrebbero obiettare che se l'area è compresa tra la retta y=1 e il grafico è anche compresa tra la retta y=0 (asse delle ascisse) e il grafico....
$text{Area gialla} sube text{Area stelle}$
Banalissima ipotesi: secondo me, per un errore di stampa è stato scritto $y=1$ al posto di $x=1$. Così ci sarebbero tutti i dati necessari, senza contraddizioni fra loro.
Si giammaria era esattamente quello che ho pensato quando ho chiesto chiarimenti sul punto b ed era quella la correzione che mi aspettavo fosse fatta!
Si è un'opera di Tobia Ravà http://www.tobiarava.com/ qui ci sono tante altre opere. E' un artista che apprezzo molto.
ciao flo, nel tuo avatar è raffigurato un canale veneziano? (magari col ponte di rialto laggiù nello sfondo?)
Si è un'opera di Tobia Ravà http://www.tobiarava.com/ qui ci sono tante altre opere. E' un artista che apprezzo molto.
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