Esercizio sulle funzioni crescenti
Devo indicare l'intervallo in cui è crescente questa funzione: $ y= x^2-3x-10$. La risoluzione è semplice: mi basta rappresentare la parabola e sarà crescente per tutte le $x$ maggiori dell'ascissa del vertice, cioè $x>3/2$.
Inizialmente però lo volevo risolvere in un altro modo, e cioè partendo dalla definizione di funzione crescente. Quindi, se $x(1) < x(2) => f(x(1)) < f(x(2))$. Allora: $x(1) < x(2) => x^2(1) < x^2(2) => x^2(1) -3x - 10 < x^2(2) -3x -10$. Inizialmente come risposta avevo dato $x>0$, perché se $x$ è negativo ovviamente quando elevo al quadrato il verso della disuguaglianza cambia, ma la mia risposta non è corretta.
In sostanza: come avrei potuto individuare l'intervallo crescente senza dover rappresentare graficamente la funzione?
PS: scusatemi, non so scrivere i numeri a pedice!
Inizialmente però lo volevo risolvere in un altro modo, e cioè partendo dalla definizione di funzione crescente. Quindi, se $x(1) < x(2) => f(x(1)) < f(x(2))$. Allora: $x(1) < x(2) => x^2(1) < x^2(2) => x^2(1) -3x - 10 < x^2(2) -3x -10$. Inizialmente come risposta avevo dato $x>0$, perché se $x$ è negativo ovviamente quando elevo al quadrato il verso della disuguaglianza cambia, ma la mia risposta non è corretta.
In sostanza: come avrei potuto individuare l'intervallo crescente senza dover rappresentare graficamente la funzione?
PS: scusatemi, non so scrivere i numeri a pedice!
Risposte
Con le derivate! 
Qual è il contesto in cui si inserisce l'esercizio? A quale argomenti fa riferimento?
Qual è il contesto in cui si inserisce l'esercizio? A quale argomenti fa riferimento?
"axpgn":
Con le derivate!
Qual è il contesto in cui si inserisce l'esercizio? A quale argomenti fa riferimento?
Allora probabilmente la rappresentazione è l'unico metodo a mia disposizione, dato che le derivate non le ho fatte.
Sto studiando le funzioni come le studierebbero al 3 anno di scientifico, per darti un riferimento
Potresti essere più preciso? In quale capitolo si trova l'esercizio?
Senza altri riferimenti, l'unica cosa che mi vien in mente è il fatto che stiamo parlando di una parabola ad asse verticale e quindi è noto che è crescente a destra (se ha la concavità verso l'alto) del vertice cioè se sai cos'è una parabola e ne conosci il grafico sai che "è così".
Senza altri riferimenti, l'unica cosa che mi vien in mente è il fatto che stiamo parlando di una parabola ad asse verticale e quindi è noto che è crescente a destra (se ha la concavità verso l'alto) del vertice cioè se sai cos'è una parabola e ne conosci il grafico sai che "è così".
Si trova su un capitolo dedicato alle funzioni. Ho appena studiato la definizione di funzione crescente e decrescente.
Ho postato perché pensavo fosse semplice arrivarci anche con altri metodi oltre quello che ho proposto, e volevo sapere se fosse possibile arrivarci per via analitica partendo dalla definizione che dà il libro: in sostanza volevo arrivarci tramite una soluzione algebrica che non fosse l'applicazione della formula del vertice.
Ho postato perché pensavo fosse semplice arrivarci anche con altri metodi oltre quello che ho proposto, e volevo sapere se fosse possibile arrivarci per via analitica partendo dalla definizione che dà il libro: in sostanza volevo arrivarci tramite una soluzione algebrica che non fosse l'applicazione della formula del vertice.
Dal vertice non puoi prescindere dato che è il discrimine tra crescenza e decrescenza; se prendi due punti a caso puoi dimostrare il contrario cioè che non è sempre crescente in tutto il dominio.
Se ti va puoi tentare di fare così ... supponi di avere una parabola con la concavità verso l'alto e di prendere due punti tali che $x_V
Se ti va puoi tentare di fare così ... supponi di avere una parabola con la concavità verso l'alto e di prendere due punti tali che $x_V
Se la parabola ha concavità verso l'altro vuol dire che si ha crescenza per ogni x maggiore dell'ascissa del vertice. Se prendo due punti con ascissa x1 e x2, entrambi con ascissa maggiore di xv con x1
Comunque mi insegni come scrivere i numeri a pedice? Ho dato un'occhiata sul sito ma non ho trovato nulla
Comunque mi insegni come scrivere i numeri a pedice? Ho dato un'occhiata sul sito ma non ho trovato nulla
Beh, no ... questa non è una dimostrazione analitica (come hai detto che vorresti fare ...)
Per i pedici: la cosa più semplice e "citare" il mio messaggio e osservare come ho fatto (e questo vale in generale per qualsiasi formula); peraltro basta usare "l'underscore" così x_1 -> $x_1$ e x_(12) -> $x_(12)$
Appena posso, scrivo la dimostrazione ...
Per i pedici: la cosa più semplice e "citare" il mio messaggio e osservare come ho fatto (e questo vale in generale per qualsiasi formula); peraltro basta usare "l'underscore" così x_1 -> $x_1$ e x_(12) -> $x_(12)$
Appena posso, scrivo la dimostrazione ...
Supponiamo di avere una parabola $y=ax^2+bx+c$ con la concavità verso l'alto ($a>0$)
Prendiamo due punti della parabola tali che $x_v
Sostituendo nelle parabola le coordinate del vertice abbiamo $y_v=ax_v^2+bx_v+c$ e con quelle di $x_1$ abbiamo $y_1=ax_1^2+bx_1+c$
Dato che $x_1>x_v$ allora sarà $x_1=x_v+d$ con $d>0$
Sostituendo abbiamo $y_1=a(x_v+d)^2+b(x_v+d)+c$ e sviluppando $y_1=ax_v^2+ad^2+2adx_v+bx_v+bd+c$
Riordinando e sostituendo $y_1=ax_v^2+bx_v+c+ad^2+2adx_v+bd\ -> \ y_1=y_v+ad^2+2adx_v+bd$ e quindi
$y_1-y_v=ad^2+2adx_v+bd$
Dovendo dimostrare che $y_1>y_v$ allora la nostra equazione equivale a dover dimostrare che $0\ 0\ 00$
Fin qui abbiamo dimostrato che per i punti a destra del vertice la funzione assume valori maggiori di quello assunto nel vertice.
Rimane l'ultimo passo.
Dato che $x_2>x_1$ allora $x_2=x_1+e=x_v+d+e$ per cui $a(d+e)^2>ad^2>0$
Finito.
Prendiamo due punti della parabola tali che $x_v
Sostituendo nelle parabola le coordinate del vertice abbiamo $y_v=ax_v^2+bx_v+c$ e con quelle di $x_1$ abbiamo $y_1=ax_1^2+bx_1+c$
Dato che $x_1>x_v$ allora sarà $x_1=x_v+d$ con $d>0$
Sostituendo abbiamo $y_1=a(x_v+d)^2+b(x_v+d)+c$ e sviluppando $y_1=ax_v^2+ad^2+2adx_v+bx_v+bd+c$
Riordinando e sostituendo $y_1=ax_v^2+bx_v+c+ad^2+2adx_v+bd\ -> \ y_1=y_v+ad^2+2adx_v+bd$ e quindi
$y_1-y_v=ad^2+2adx_v+bd$
Dovendo dimostrare che $y_1>y_v$ allora la nostra equazione equivale a dover dimostrare che $0
Fin qui abbiamo dimostrato che per i punti a destra del vertice la funzione assume valori maggiori di quello assunto nel vertice.
Rimane l'ultimo passo.
Dato che $x_2>x_1$ allora $x_2=x_1+e=x_v+d+e$ per cui $a(d+e)^2>ad^2>0$
Finito.
Ho capito quasi tutto. Solo una cosa: nell'ultimo passo, non dovrebbe essere $a(x_v + d + e)^2 > a(x_v + d)^2 > 0$ ?
No perché ho ripreso direttamente la "situazione" finale del calcolo precedente dove $x_v$ è "sparito" ... 
Tutto chiaro. Grazie mille per la dimostrazione!
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