Esercizio sulla potenza di un binomio
Salve,
sto avendo qualche problema con il seguente esercizio:
Il monomio $24t^2$ fa parte dello sviluppo della quarta potenza di binomio a coefficienti interi positivi. Qual'è il binomio?
Io ho fatto il seguente ragionamento:
Se tale monomio fa parte dello sviluppo della quarta potenza di un monomio, diciamo $A+B$, allora $A^4=24t^2$ o $4A^3B=24t^2$ o $6A^2B^2=24t^2$ o $4AB^3=24t^2$ o $B^4=24t^2$.
La prima e l'ultima uguaglianza sono impossibili, dato che sia $A$ che $B$ devono avere coefficienti interi e nessun intero elevato alla quarta dà come risultato 24, dunque i casi possibili sono $4A^3B=24t^2$ o $6A^2B^2=24t^2$ o $4AB^3=24t^2$.
Consideriamo $4A^3B=24t^2$: allora $A^3B=6t^2$. La premessa del capitolo in cui ho trovato quest'esercizio è che tutti i polinomi trattati sono razionali. Dato che $t$ è elevato alla seconda, affinché il binomio sia razionale, deve essere la parte letterale di $B$. Per quanto riguarda il $6$, dato che nessun numero intero elevato alla terza dà come risultato $6$, deve essere per forza il coefficiente di $B$.
Il nostro binomio elevato alla quarta deve quindi essere $(1+6t^2)^4$ [PRIMA SOLUZIONE].
Un risultato identico si ottiene considerando $4AB^3=24t^2$.
Prendiamo adesso $6A^2B^2=24t^2$: allora $A^2B^2=4t^2$. Sia $A$ che $B$ sono elevati alla seconda, dunque il $t^2$ e il $4$ possono appartenere tutti e due a entrambi i termini del binomio ricercato. Dunque otteniamo altre due soluzioni possibili: $(2+t)^4$ [SECONDA SOLUZIONE] e $(1+2t)^4$ [TERZA SOLUZIONE].
Ora, il problema è che il libro dice che i binomi che elevati alla quarta danno come risultato un polinomio contenente $24t^2$ sono solo due, io invece ne ho ottenuti tre. Non riesco quindi a capire se ho sbagliato qualcosa io o sta sbagliando il libro.
Grazie mille in anticipo per l'aiuto.
sto avendo qualche problema con il seguente esercizio:
Il monomio $24t^2$ fa parte dello sviluppo della quarta potenza di binomio a coefficienti interi positivi. Qual'è il binomio?
Io ho fatto il seguente ragionamento:
Se tale monomio fa parte dello sviluppo della quarta potenza di un monomio, diciamo $A+B$, allora $A^4=24t^2$ o $4A^3B=24t^2$ o $6A^2B^2=24t^2$ o $4AB^3=24t^2$ o $B^4=24t^2$.
La prima e l'ultima uguaglianza sono impossibili, dato che sia $A$ che $B$ devono avere coefficienti interi e nessun intero elevato alla quarta dà come risultato 24, dunque i casi possibili sono $4A^3B=24t^2$ o $6A^2B^2=24t^2$ o $4AB^3=24t^2$.
Consideriamo $4A^3B=24t^2$: allora $A^3B=6t^2$. La premessa del capitolo in cui ho trovato quest'esercizio è che tutti i polinomi trattati sono razionali. Dato che $t$ è elevato alla seconda, affinché il binomio sia razionale, deve essere la parte letterale di $B$. Per quanto riguarda il $6$, dato che nessun numero intero elevato alla terza dà come risultato $6$, deve essere per forza il coefficiente di $B$.
Il nostro binomio elevato alla quarta deve quindi essere $(1+6t^2)^4$ [PRIMA SOLUZIONE].
Un risultato identico si ottiene considerando $4AB^3=24t^2$.
Prendiamo adesso $6A^2B^2=24t^2$: allora $A^2B^2=4t^2$. Sia $A$ che $B$ sono elevati alla seconda, dunque il $t^2$ e il $4$ possono appartenere tutti e due a entrambi i termini del binomio ricercato. Dunque otteniamo altre due soluzioni possibili: $(2+t)^4$ [SECONDA SOLUZIONE] e $(1+2t)^4$ [TERZA SOLUZIONE].
Ora, il problema è che il libro dice che i binomi che elevati alla quarta danno come risultato un polinomio contenente $24t^2$ sono solo due, io invece ne ho ottenuti tre. Non riesco quindi a capire se ho sbagliato qualcosa io o sta sbagliando il libro.
Grazie mille in anticipo per l'aiuto.
Risposte
Credo tu abbia ragione. Probabilmente l'autore, mentre preparava l'esercizio, pensava ad un binomio di primo grado e si è dimenticato di esplicitare questa condizione.
Ciao
Ciao
Ciao e grazie per l'aiuto
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