Esercizio sulla parabola, corretto?

[giuseppe19967]

Assegnata la parabola con l'asse parallela all'asse y, determina l'equazione della parabola in modo che il suo vertice sia V(0;4) e che la sua retta tangente nel punto di ascissa 1 sia parallela alla retta di equazione y=-2x.

Allora, io ho risolto l'esercizio in questa maniera:
dall'equazione generica y=ax^2+bx+c
- Pongo l'ascissa del vertice uguale all'ascissa dell'equazione Xv = -b/2a = 0 e quindi che b=0
- Le coordinate del vertice devono appartenere alla parabola: OTTENGO c=4

Metto a sistema le due equazioni : OTTENGO y = ax^2+4


vado a calcolare la retta passante per il punto A(1;a+b+c) e parallela a y=-2x
e ottengo : y = -2x+2+a+b+c dove sostituendo i valori ottenuti : y = -2x +a +6

ponendo a sistema y = -2x+a+6 e y = ax^2 +4 ottengo ax^2 +(-2)x + (-2-a) = 0
Vado a porre il DELTA = 0 e ottengo : a = -1.
L'equazione della parabola risulta quindi essere y = -x^2 + 4

Penso sia fatto bene

[f3874de6c1206fe40aa32376201566557615d103]

Ciao,
è giusto.. bravo.
:-)

[giuseppe19967]

# antore91 :
Ciao,
è giusto.. bravo.
:-)

Ciao scusami ho un problema riguardo il secondo punto del problema:
Dopo aver considerato la regione di piano R (il segmento parabolico) racchiusa dalla parabola e dall'asse delle x, determina l'equazione della retta parallela all'asse dx in modo che la stessa divida la regione R in due parti aventi aree uguali.

Applicando la formula dei 4/3 del triangolo sono riuscito a calcolare Rtotale, ma non riesco proprio a capire come fare per trovare la retta che mi dimezza l'area

[BIT5]

La parabola è y=-x^2+4
La regione è quella compresa tra il vertice e l'asse x

Dobbiamo considerare una retta orizzontale (y=k) in modo che l'area compresa tra il vertice e la retta sia metà dell'area del segmento parabolico

Pertanto ti calcoli l'area del segmento parabolico (ho visto che usi la il metodo dei 4/3 del triangolo):

Base = 4 (distanza tra i due punti di intersezione con l'asse x che sono x=2 e x=-2)
Altezza = ordinata del vertice (perché giace sull'asse y) e dunque 4
L'area del segmento parabolico sarà dunque 32/3

Vogliamo una retta parallela all'asse x che divida quest'area in due parti uguali.
Vogliamo dunque una retta tale che generi un segmento parabolico di superficie 16/3 (metà di 32/3)

Questo segmento parabolico sarà i 4/3 del triangolo corrispondente, pertanto il triangolo avrà superficie 4

Sappiamo che la parabola ha asse di simmetria e vertice sull'asse delle ordinate, pertanto tute le basi dei segmenti parabolici generati dall'intersezione di rette parallele all'asse x con la parabola stessa, avranno come base 2x (ovvero il doppio dell'ascissa positiva del punto di intersezione retta/parabola).

Tutte le rette parallele all'asse x hanno equazione y=k, pertanto il triangolo da noi cercato avrà altezza pari alla differenza tra la y del vertice e la y della retta, dunque 4-k

[math] A= \frac{2x_p \cdot (4-k)}{2} = x_p \cdot (4-k) [/math]

k deve appartenere anche alla parabola, quindi sarà

[math] k= -x_p^2 + 4 [/math]

Da cui

[math] A= x_p \cdot (4-(-x_p^2 + 4))[/math]

Abbiamo detto che l'area deve essere 4, quindi

[math] x_p \cdot (4-(-x_p^2 + 4)) = 4 [/math]

E dunque

[math]x_p^3=4 \to x= \sqrt[3]{4} [/math]

La retta sarà

[math] y=\sqrt[3]{4} [/math]

Il procedimento è corretto, non escludo errori di calcolo in quanto l'ho fatto abbastanza di corsa...