Esercizio sulla parabola (41587)

[elbarto1993]

Una parabola di equazione y=ax^2+bx+c ha il vertice nel primo quadrante in un punto di ascissa 3, passa per l'origine degli assi e intercetta sulla retta y=-1/2x una corda OA di misura 13(radical)5/4.
a)Dimostrare che deve essere a0.
b)Osservare che il punto A deve essere nel quarto quadrante.
c)Determinare l'equazione della parabola.
d)Calcolare la misura dell'area del triangolo isoscele inscritto nel segmento parabolico determinato dalla parabola e dalla retta data e avente come base la corda OA data.

[BIT5]

La parabola passa per l'origine:

[math] 0=a0^2+bo+c \to c=0 [/math]

Ha il vertice nel primo quadrante di ascissa 3:

[math] - \frac{b}{2a}=3 \to b=-6a [/math]

Abbiamo dunque una parabola del tipo:

[math] y=ax^2-6ax [/math]

(ovvero un fascio :D)

La parabola intercetta sulla retta -1/2x una corda OA di misura

[math] \frac{13 \sqrt4}{4} [/math]

Tutti i punti della retta sono della forma

[math] x_0, - \frac12 x_0 [/math]

dal momento che, appunto i punti giacciono sulla retta che ha tutti i valori di y pari a -1/2 di x.

Sostituiamo dunque le coordinate generiche del punto di intersezione tra essa e la retta:

[math] - \frac12 x =ax^2-6ax \to ax^2-6ax+ \frac12x =0 \to x(ax-6a+ \frac12)=0 [/math]

Da cui:

[math] x_1=0 [/math]

e ce lo aspettavamo (la corda e' OA ovvero un estremo sta nell'origine)

[math] ax=6a- \frac12 \to x= \frac{12a-1}{2a} [/math]

E siccome il punto sta sulla retta (oltre che sulla parabola, ma sulla retta e' piu' semplice) avremo

[math] y= - \frac12 x \to y=- \frac12 \( \frac{12a-1}{2a} \)= - \frac{12a-1}{4a} [/math]

La distanza del punto generico trovato dall'origine dovra' essere pari a

[math] \frac{13 \sqrt5}{4} [/math]

Quindi calcoliamo la distanza del punto dall'origine con Pitagora:

[math] d= \sqrt{ \( \frac{12a-1}{2a} \)^2+ \( - \frac{12a-1}{4a} \)^2}= \frac{13 \sqrt5}{4} [/math]

E dunque, possiamo "spaccare" le frazioni

[math] d= \sqrt{ \frac{(12a-1)^2}{(2a)^2} + \frac{(-(12a-1))^2}{2^2(2a)^2}}= \frac{13 \sqrt5}{4} [/math]

Raccogliere a fattore comune

[math] d= \sqrt{ \frac{(12a-1)^2}{(2a)^2} \( 1+ \frac14 \)}=\frac{13 \sqrt5}{4} [/math]

E dunque, portando fuori dalla radice

[math] \frac{12a-1}{2a} \sqrt{ \frac54}= \frac{13 \sqrt5}{4} [/math]

[math] \frac{12a-1}{2a}= \frac{13 \sqrt5}{4} \sqrt{ \frac45} [/math]

[math] \frac{12a-1}{2a}= \frac{13}{2} [/math]

[math] 24a - 2=26a \to 2a=-2 \to a=-1 [/math]

E pertanto ricordando che

[math] b=-6a [/math]

avremo b=6

Ci sei fino a qui?

Oooooooops. Ho letto solo il testo e sono partito in quarta..

Praticamente ho risolto il punto c) :D:D:D:

La parabola sara' infatti

[math] y=-x^2+6x [/math]

[elbarto1993]

ok fino qui ci sono...:D

[BIT5]

a) il vertice sta nel primo quadrante.
L'ascissa del vertice e' 3:

dal momento che l'ascissa del vertice e'

[math]- \frac{b}{2a} [/math]

ed' e' pari a 3, la frazione b/a dovra' essere negativa (in modo che il - davanti ne cambi il segno facendola diventare positiva).

Pertanto a e b dovranno essere necessariamente discordi (ovvero una positiva e una negativa).

La parabola, inoltre passa per l'origine. Ma il vertice sta nel primo quadrante, e pertanto, dal momento che il segno di a stabilisce la concavita' della parabola, se a fosse positivo, tutti i punti della parabola starebbero "al di sopra" del vertice e quindi tutti nel primo e nel secondo quadrante.

Affinche' la parabola passi per l'origine (che ha necessariamente ordinata

[elbarto1993]

ok...questo lo avevo già fatto più o meno... :D

[BIT5]

Eh allora, magari, posta cosa non ti riesce cosi' evitiamo inutili duplicazioni..