Esercizio sulla circonferenza (215843)

[gaiab00]

Ciao ragazzi, avrei bisogno di una mano per questo esercizio:
scrivi l'equazione della circonferenza tangente in P(3,3) alla bisettrice del primo e del terzo quadrante e passante per Q(-1,3).

[mc2]

Ci sono vari modi per risolverlo.

Primo metodo:

La circonferenza passa per P e Q, quindi il suo centro deve stare sull'asse del segmento PQ che e` la retta di equazione x=1 (retta parallela all'asse y).

Inoltre la circonferenza deve essere tangente in P alla bisettrice y=x, il centro della circonferenza deve trovarsi sulla retta passante per P e perpendicolare alla bisettrice y=x. Tale retta e`: y-3=-(x-3) , ossia y=-x+6.

Il centro della circonferenza e` il punto di intersezione di queste due rette:

[math]\left\{\begin{array}{l}
x=1 \\ y=-x+6 \end{array}\right.
\quad \Rightarrow \quad x=1, y=5
[/math]

Quindi la circonferenza ha centro nel punto C(1,5), ed ha la forma:

[math]x^2+y^2-2x-10y+\gamma = 0[/math]

e per trovare l'ultimo coefficiente incognito

[math]\gamma[/math]

basta imporre il passaggio per P:

[math]9+9-6-30+\gamma=0[/math]

,

[math]\gamma=18[/math]

e la circonferenza richiesta e`:

[math]x^2+y^2-2x-10y+18=0[/math]

Secondo metodo

Scriviamo l'equazione della generica circonferenza:

[math]x^2+y^2+ax+by+c=0[/math]

imponiamo il passaggio per i punti P e Q:

[math]\left\{\begin{array}{l}
9+9+3a+3b+c=0 \\ 1+9-a+3b+c=0 \end{array}\right.
\quad
\left\{\begin{array}{l}
3a+3b+c=-18 \\ -a+3b+c=-10 \end{array}\right.
[/math]

Sottraendo membro a membro si trova subito a=-2, quindi rimane una condizione per b e c:

[math]3b+c=-12[/math]

cioe`

[math]c=-12-3b[/math]

Imponiamo ora la tangenza alla retta y=x:

[math]\left\{\begin{array}{l}
y=x \\ x^2+y^2-2x+by+c=0\end{array}\right.
\quad
2x^2-(2-b)x+c=0
[/math]

Questa equazione di secondo grado deve avere due radici coincidenti, quindi il suo discriminante deve essere zero:

[math](2-b)^2-8c=0[/math]

Sostituendo

[math]c=-12-3b[/math]

si ha

[math]b^2+20b+100=0[/math]

la cui soluzione e` b=-10 e si ricava poi anche c=-12+30=18