Esercizio sul limite

[Scorpion1010]

Salve ragazzi oggi la prof ha spiegato come risolvere la forma indeterminata $+oo -oo$ e mi ha dato un esercizio dove devo determinare il valore del seguente limite:
$lim_(x->+oo)(x+4-sqrt(x^2++2x+16))$
Da quanto ho capito devo razionalizzarlo cambiando da $-$ a $+$ e quindi diventa (levo il lim sennò viene troppo lungo):
$(x+4-sqrt(x^2+2x+16))*(x+4+sqrt(x^2+2x+16)) / (x+4+sqrt(x^2+2x+16))$
Ho continuato moltiplicando i numeratori:
$((x+4)^2-x^2-2x-16)/(x+4+sqrt(x^2+2x+16))$
Ho svolto il quadrato e levato le $x^2$ e i 16 e diventa:
$(6x)/((x+4+sqrt(x^2+2x+16))$
Qui mi sono fermato: ho fatto bene i passaggi? Poi come si continua? PS: Il risultato dovrebbe venire 3.. ringrazio in anticipo

[orsoulx]

Mi pare sia tutto giusto; per arrivare al risultato basta individuare qual sia l'infinito principale del denominatore
$ x+4+sqrt(x^2+2x+16)=x(1+4/x+sqrt(1+2/x+16/{x^2})) $
dove si è tenuto conto che $ x $ tende a $ + oo $
Ciao

[Scorpion1010]

Volevo chiedere una cosa (Sul libro sta scritto la stessa cosa che hai fatto tu solo che cambia l'esercizio): ma come fa quel 4 a diventare $4/x$? Poi $2/x$ e anche $16/x^2$ non riesco a capire :/

[orsoulx]

Se 'raccogli' $ x $ devi dividere tutto per $ x $ e allora:
$ x $ diventa $ 1 $
$ 4 $ diventa $ 4/x $
il radicando, dopo aver osservato che $ x $ è positivo in un intorno opportuno, deve esser diviso per $ x^2 $
$ x^2 $ diventa $ 1 $ ecc.
Ciao

[Scorpion1010]

Ok grazie!

[Scorpion1010]

Un'altra cosa: $x(1+4/x+sqrt(1+2/x+16/x^2))$ allora mettendo + oo solo alle x interne verrebbe:
$x(1+0+1)$ giusto? Quindi verrebbe 2x che poi facendo $(6x)/(2x)$ viene 3 giusto?