Esercizio sui limiti....

[kioccolatino90]

ciao a tutti, ho un limite che non riesco a risolvere è della forma $oo/oo$, il limite è:

$lim_(x->1)(log(3^(2x)+2x-11))/(log[sin2pi(x-1)])$ che io ho cercato di risolverlo così:

nel logaritmo non posso mettere in evidenza nulla quindi uso un parametro che scelgo $(x-1)$ e per $x->1$, $(x-1)->0$... Inoltre spezzo il $-11$ e si ha:

$lim_((x-1)->0)(log(3^(2x)-9+2x-2))/(log[sin2pi(x-1)])$

applico il limite notevole per il seno al denominatore e mi resta:

$lim_((x-1)->0)(log[3^(2x)-3^2+2(x-1)])/(log[(sin2pi(x-1))/(2pi(x-1))2pi(x-1)])=$

$lim_((x-1)->0)(log[3^2(3^(2x-2)-1)+2(x-1)])/(log[2pi(x-1)])$

uso il limite notevole al termine $3^(2x-2)-1$ e ottengo:

$lim_((x-1)->0)(log{2(x-1)[3^2log3+1]})/(log[2pi(x-1)])$ e già posso dire che non mi trovo.... come devo fare?
Mi scuso anticipatamente se il messaggio è troppo lungo, ho cercato di togliere più passaggi possibili....

[giammaria2]

Comincerei con la sostituzione $t=x-1$ che rende il tutto di più immediata lettura. Poi il metodo più spontaneo è applicare l'Hospital ma si può evitarlo così:
$lim_(t->0) (log(3^(2t+2)+2t-9))/log(sen 2 pi t)$

$=lim_(t->0) (log[t*(9*(3^(2t)-1)/t+2)])/(log(t*(sin 2 pi t)/t))$
Ponendo per brevità di scrittura $A=9*(3^(2t)-1)/t+2$ e $B=(sin 2 pi t)/t$, entrambi tendenti a limiti finiti, si ha
$=lim_(t->0)(log t+log A)/(log t+log B)$

$=lim_(t->0)(log t (1+(logA)/(log t)))/(log t (1+(logB)/(log t)))=(1+0)/(1+0)=1$

[kioccolatino90]

Ah giusto non ci avevo pensato, cioè si però poi arrivavo a riscrivere lo stesso limite solo che al posto della $x$ c'era il parametro $t$....