Esercizio sui limiti

[sunset10]

Salve, dovrei risolvere questo esercizio sui limiti (non abbiamo fatto il teorema di de l'Hopital). Tuttavia, non so proprio come fare. Cioè, ho provato a vedere (1-x)^(2x) come (1+x^2-2x)^(x). In questo modo, numeratore e denominatore sono entrambi elevati alla x e così posso considerare tutta la frazione elevata alla x . Ma poi? Come devo procedere?
lim x->+inf ((1-x)^(2x))/((1+x^2)^x)

[@melia]

$lim_(x->+oo) ((1-x)^(2x))/((1+x^2)^x)=lim_(x->+oo) ((1-2x+x^2)^x)/((1+x^2)^x)=lim_(x->+oo) ((1-2x+x^2)/(1+x^2))^x$ sei arrivata a questo punto e niente Hospital giusto?
Allora dobbiamo trasformare tutto nel limite notevole $lim_(x->+oo) (1+1/x)^x=e$
Nella base della potenza abbiamo $(1-2x+x^2)/(1+x^2)$ che può diventare $(1+x^2)/(1+x^2) + (-2x)/(1+x^2)= 1+1/((1+x^2)/(-2x))$, a questo se metti come esponente $(1+x^2)/(-2x)$ viene $e$, quindi
$lim_(x->+oo) (1+1/((1+x^2)/(-2x)))^((1+x^2)/(-2x))=e$ adesso si tratta di dargli una sistematina per farlo diventare quello che avevamo all'inizio:
$lim_(x->+oo) {[(1+1/((1+x^2)/(-2x)))^((1+x^2)/(-2x))]^((-2x)/(1+x^2))}^x=e^(-2)=1/e^2$