Esercizio sui fasci di parabole e direttrice
ciao a tutti,
ieri uno dei ragazzi che seguo per matematica mi ha portato questo esercizio che non ho saputo risolvere, (lo ammetto non ricordo per niente le parabole) ve lo propongo.
punto a) Determina l'equazione del fascio di parabole con punti base \( A(0;4)\) e \(B(1;0)\);
punto b) Individua la parabola \(\gamma\) del fascio, con coefficiente di \(x^2\) minore, avente direttrice di equazione \(2y+5=0\);
punto c) Trova le equazioni delle rette \(t_1\) e \(t_2\) tangenti a \(\gamma\) in \( A(0;4)\) e in \(B(1;0)\), e le equazioni \(n_1\) e \(n_2\) delle normali \(t_1\) e \(t_2\) in \( A(0;4)\) e \(B(1;0)\);
punto d) Calcola l'area dela quadrilatero \(ABCD\), essendo \(C\) il punto d'intersezione in \(n_1\) e \(n_2\) e \(D\) il punto d'intersezione di \(t_1\) e \(t_2\).
Allora, il punto a) siamo riusciti a risolverlo (dopo tante peripezie) in questo modo:
equazione della retta passante per \( A(0;4)\) e \(B(1;0)\) \(\rightarrow\) \(y=-4x+4\), dopodiché ho applicato la formulina:
\(y= mx+q+k(x-x_A)(x-x_B)\) ottenendo: \(y=kx^2-(4+k)x+4\).
Il punto b) non siamo minimamente riusciti a risolverlo, abbiamo provato a trovare il fuoco e/o il vertice dall'equazione della direttrice, sul libro di testo non abbiamo trovato nulla.
A questo punto ci siamo fermati e non abbiamo proseguito.
naturalmente non avendo trovato l'equazione di \(\gamma\) non è possibile proseguire, ma provo a buttare giù un idea.
Il punto c) Data \(\gamma\) la condizione di tangenza tra retta e parabola è che \(\Delta\) del sistema retta parabola sia \(=0\): inserisco l'ascissa del punto di tangenza nell'equazione di \(\gamma\) e imposto l'equazione della tangente: \(y-4=m(x-0)\) e risolvo. Le rette normali sono le ortogonali alle tangenti (\(m\cdot m'=-1\)).
Il punto c) penso di non avere nessun problema a risolverlo....
Morale della favola mi date una mano a dare una soluzione al punto b) per favore?
ieri uno dei ragazzi che seguo per matematica mi ha portato questo esercizio che non ho saputo risolvere, (lo ammetto non ricordo per niente le parabole) ve lo propongo.
punto a) Determina l'equazione del fascio di parabole con punti base \( A(0;4)\) e \(B(1;0)\);
punto b) Individua la parabola \(\gamma\) del fascio, con coefficiente di \(x^2\) minore, avente direttrice di equazione \(2y+5=0\);
punto c) Trova le equazioni delle rette \(t_1\) e \(t_2\) tangenti a \(\gamma\) in \( A(0;4)\) e in \(B(1;0)\), e le equazioni \(n_1\) e \(n_2\) delle normali \(t_1\) e \(t_2\) in \( A(0;4)\) e \(B(1;0)\);
punto d) Calcola l'area dela quadrilatero \(ABCD\), essendo \(C\) il punto d'intersezione in \(n_1\) e \(n_2\) e \(D\) il punto d'intersezione di \(t_1\) e \(t_2\).
Allora, il punto a) siamo riusciti a risolverlo (dopo tante peripezie) in questo modo:
equazione della retta passante per \( A(0;4)\) e \(B(1;0)\) \(\rightarrow\) \(y=-4x+4\), dopodiché ho applicato la formulina:
\(y= mx+q+k(x-x_A)(x-x_B)\) ottenendo: \(y=kx^2-(4+k)x+4\).
Il punto b) non siamo minimamente riusciti a risolverlo, abbiamo provato a trovare il fuoco e/o il vertice dall'equazione della direttrice, sul libro di testo non abbiamo trovato nulla.
A questo punto ci siamo fermati e non abbiamo proseguito.
naturalmente non avendo trovato l'equazione di \(\gamma\) non è possibile proseguire, ma provo a buttare giù un idea.
Il punto c) Data \(\gamma\) la condizione di tangenza tra retta e parabola è che \(\Delta\) del sistema retta parabola sia \(=0\): inserisco l'ascissa del punto di tangenza nell'equazione di \(\gamma\) e imposto l'equazione della tangente: \(y-4=m(x-0)\) e risolvo. Le rette normali sono le ortogonali alle tangenti (\(m\cdot m'=-1\)).
Il punto c) penso di non avere nessun problema a risolverlo....
Morale della favola mi date una mano a dare una soluzione al punto b) per favore?
Risposte
La parabola: $y=ax^2+bx+c" "$ ha per direttrice la retta: $" "y=(-1-b^2+4ac)/(4a)$.
Ne ottieni un'equazione di secondo grado in $k$.
Ne ottieni un'equazione di secondo grado in $k$.
si ok, ma quindi il "coefficiente minore di \(x^2\)" è il \(k\) minore della soluzione dell'equazione di secondo grado?
"Palliit":
La parabola: $y=ax^2+bx+c" "$ ha per direttrice la retta: $" "y=(-1-b^2+4ac)/(4a)$.
Ne ottieni un'equazione di secondo grado in $k$.
mi sono messo a risolvere l'equazione e le radici sono complesse, pongo la parte immaginaria \(=0\)?
"Palliit":
La parabola: $y=ax^2+bx+c" "$ ha per direttrice la retta: $" "y=(-1-b^2+4ac)/(4a)$.
Ne ottieni un'equazione di secondo grado in $k$.
A me veramente viene $" "k_1=1" "$ e $" "k_2=17" "$.
Prova a ricontrollare i calcoli.
Prova a ricontrollare i calcoli.
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