Esercizio sugli Integrali

[Simorchio]

Salve,
Sto svolgendo l'esercizio in foto, e vi allego anche la risoluzione. Ho un dubbio, ovvero non credo che l'ultima parte sia effettivamente giusta. Mi sapreste dire come risolvere meglio?

[Lollo_F]

La prima parte e' giusta, solo che tu devi prendere il valore assoluto del valore ottenuto per l'area. Pertanto

[math]
A= \frac{4}{3}
[/math]

Per l'integrale dato, invece

[math]
F_{(x)}= -\frac{2}{3} (1-x)^{ \frac{3}{2} } +a
[/math]

2I e' uguale a

[math]
\frac{4}{3} (1-k)^{ \frac{3}{2} }
[/math]

A questo punto si eguaglia, A=2I

[math]
\frac{4}{3} (1-k)^{ \frac{3}{2} } = \frac{4}{3}
[/math]

[math]
\frac{ 4^{ \frac{2}{3} } \ - \ 4^{ \frac{2}{3} } \cdot k }{\sqrt[3]{ 3^2 }} = \frac{ \sqrt[3] {16}}{ \sqrt[3] {9}}
[/math]

Svolgi, razionalizzi in modo da rendere uguali i denominatori, cancelli i termini uguali e ti viene k=0 come unica soluzione

[Simorchio]

Perché dell'area devo prendere il valore assoluto?

[Lollo_F]

L'area come puo' essere negativa??
E comunque l'area della sezione parabolica si calcola, anche, sulla base dell'area e dell'altezza.

[math]
y= x^2 -2x +1 -1
[/math]

[math]
y= (x-1)^2 -1, \ b=2, \ h=1
[/math]

Usando il metodo del completamento del quadrato.

[math]
A = \frac{2}{3} \cdot 2 \cdot 1 = \frac{4}{3}
[/math]

Metodo alternativo che riporta al risultato che volevamo