Esercizio su segmento parabolico
Nel segmento parabolico, situato nel primo quadrante, determinato da una parabola y=ax^2+bx+c e dall'asse x, è inscritto un rettangolo avente un lato sull'asse x e il cui perimetro misura 18. Sapendo che uno dei vertici del rettangolo è il punto A(1;5) e che la parabola passa per il punto (-1;-7), determinare l'equazione della parabola.
Risposte
La parabola passa per il punto (-1,-7)
Quindi
Il rettangolo e' inscritto nel segmento parabolico, pertanto il vertice A del rettangolo apparterra' anche alla parabola..
Dunque anche A soddisfera' l'equazione della parabola, che sappiamo essere
La parabola a questo punto sappiamo che sara' della forma
A questo punto sappiamo che il rettangolo ha un lato che giace sull'asse x.
L'altro sara' ad esso parallelo, e pertanto, ovunque esso sia, avra' i vertici sulla parabola i quali avranno stessa ordinata (tra di loro) e stessa ascissa dei punti sottostanti.
Sappiamo che il punto A e' un vertice.
Avremo il suo "corrispondente" in basso sull'asse x (e quindi avra' coordinate (1,0)) e l'altro punto, che avra' stessa ordinata (5) avra' l'ascissa che soddisfa la parabola.
Quindi i punti di interesse sono:
A (1,5)
B(1,0)
La distanza tra A e B sara' dunque 5.
Pertanto, sapendo che il perimetro misura 18, avremo che la base sara' 4 (5 e' l'altezza)
Pertanto l'altro punto sull'asse x avra' coordinate (5,0) o (-3,0)
E dunque il punto sulla parabola sara' (5,5) o (-3,5)
(aiutati con un disegno..)
Sostituiamo:
La seconda soluzione non e' accettabile, dal momento che il segmento parabolico e' nel primo quadrante e pertanto la concavita' della parabola dovra' essere rivolta verso il basso (e il vertice, ovviamente, dovra' essere nel primo quadrante).
Spero di aver fatto i conti corretti :D
Quindi
[math] -7=a-b+c \to c=-7-a+b [/math]
Il rettangolo e' inscritto nel segmento parabolico, pertanto il vertice A del rettangolo apparterra' anche alla parabola..
Dunque anche A soddisfera' l'equazione della parabola, che sappiamo essere
[math] y=ax^2+bx-7-a+b [/math]
[math] 5=a+b-7+a+b \to 12=2a+2b \to b=6-a [/math]
La parabola a questo punto sappiamo che sara' della forma
[math] y=ax^2+(6-a)x-7-a+6-a \to y=ax^2+(6-a)x-2a-1 [/math]
A questo punto sappiamo che il rettangolo ha un lato che giace sull'asse x.
L'altro sara' ad esso parallelo, e pertanto, ovunque esso sia, avra' i vertici sulla parabola i quali avranno stessa ordinata (tra di loro) e stessa ascissa dei punti sottostanti.
Sappiamo che il punto A e' un vertice.
Avremo il suo "corrispondente" in basso sull'asse x (e quindi avra' coordinate (1,0)) e l'altro punto, che avra' stessa ordinata (5) avra' l'ascissa che soddisfa la parabola.
Quindi i punti di interesse sono:
A (1,5)
B(1,0)
La distanza tra A e B sara' dunque 5.
Pertanto, sapendo che il perimetro misura 18, avremo che la base sara' 4 (5 e' l'altezza)
Pertanto l'altro punto sull'asse x avra' coordinate (5,0) o (-3,0)
E dunque il punto sulla parabola sara' (5,5) o (-3,5)
(aiutati con un disegno..)
Sostituiamo:
[math] 5=25a+(6-a)5-2a-1 \to 25a+30-5a-2a-6=0 \to 18a=-24 \to a= - \frac{4}{3}[/math]
[math] 5=9a-3(6-a)-2a-1 \to 9a-18+3a-2a-6=0 \to 10a=24 \to a= \frac{24}{10} [/math]
La seconda soluzione non e' accettabile, dal momento che il segmento parabolico e' nel primo quadrante e pertanto la concavita' della parabola dovra' essere rivolta verso il basso (e il vertice, ovviamente, dovra' essere nel primo quadrante).
Spero di aver fatto i conti corretti :D
il risultato che porta qui sul libro è: y=-x^2+6x
Allora ho sbagliato i conti.
Prova a rifarlo..
Prova a rifarlo..
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