Esercizio su relazioni binarie

[vanpic]

Si considerino in `ZZ` le due relazioni `R_1` e`R_2` definite rispettivamente da:
`xR_1y hArr x-y` è un multiplo di 3 e 5
`xR_2y hArr x-y` è un multiplo di 3 o 5

1)Dimostrare che`R_1` è una relazione di equivalenza.Quali sono le classi di equivalenza?
2)Che si può dire della relazione `R_2` in `ZZ` ?

1)`xR_1y hArr x-y` è un multiplo di 3 e 5
equivale a dire
`xR_1y hArr x-y=15k,kinZZ`

- `AA x inZZ , x-x=0=0*15,0inZZhArrR_1 `è riflessiva
- `AAx,y inZZ, x-y=15k,k in ZZhArr y-x=15*(-k), -kinZZhArr R_1`è simmetrica
- `AAx,y,z in ZZ, x-y=15k_1^^y-z=15k_2hArr x-y+y-z=15(k_1+k_2)hArrx-z=15(k_1+k_2),(k_1+k_2)inZZ hArr R_1` è transitiva

Quindi `R_1` è una relazione di equivalenza.

L'insieme (quoziente) delle classi di equivalenza: `ZZ`/`R_1`={[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8],[9],[10],[11],[12],[13],[14]}`

2)`xR_2y hArr x-y` è un multiplo di 3 o 5
equivale a dire
`xR_2y hArr (x-y=3k_1,k_1in ZZ)vv(x-y=5k_2,k_2in ZZ)`

- `AAx in ZZ,x-x=0=3*0,0inZZ hArr R_2`è riflessiva
- `AAx,y inZZ, x-y=3k_1,k_1 in ZZ hArr y-x=3*(-k_1), -k_1 in ZZ hArr R_2` è simmetrica

`5-2=3 hArr 5R_2 2 `
`2-7=-5 hArr 2R_2 7`
`5-7=-2 hArr 5 (nonR_2) 7`
Quindi
`EE x,y,z in ZZ : xR_2y ^^ yR_2 z (non rArr) xR_2z hArr R_2 ` non è transitiva

`R_2` non è una relazione di equivalenza.

Oltre ad errori concettuali, probabilmente avrò usato delle imprecisioni o delle forzature nei simboli.Nel caso, fatemelo notare.
Grazie.

[@melia]

Concettualmente mi pare tutto corretto e anche dal punto di vista della simbologia mi pare che vada tutto bene.
C'è una sola lacuna: nella dimostrazione della proprieta simmetrica di $R_2$ manca il caso in cui $x-y=5k_2$

[Steven11]

Sì direi tutto a posto anche io, tranne appunto la mancanza del caso $x-y=5h$, sebbene ritenga che vanpic lo ritenesse implicito perché perfettamente analogo al caso $3h$.

Ciao.

[vanpic]

Grazie per le risposte @melia e Steven.
Veramente il caso della proprietà simmetrica di `R_2` per `x-y=5k_2` lo ritenevo superfluo. Poi,leggendo le vostre risposte, ci ho pensato un po'...e ho concluso che superfluo...non lo è affatto.

P.S. Siete veramente...magnanimi ...ci aiutate anche a Ferragosto

[Steven11]

"vanpic":
P.S. Siete veramente...magnanimi ...ci aiutate anche a Ferragosto

Perché, oggi è Ferragosto?

Comunque ad ogni modo, mi piace l'idea che ogni mia attività sia svincolata dal colore dei giorni sul calendario.