Esercizio su probabilità condizionata e teorema di Bayes
Ciao a tutti! Sto trovando difficoltà a risolvere il seguente esercizio di probabilità:
"Il 70% di un gruppo di ammalati di gastrite è stato sottoposto alla cura di un nuovo farmaco che ha sostituito il precedente e il 60% ha ottenuto un miglioramento. Fra le persone non sottoposte al trattamento del nuovo farmaco ha ottenuto un miglioramento il 30%. Calcola la probabilità di efficacia del nuovo farmaco".
La mia difficoltà è quella di tradurre il testo negli eventi corretti e sopratutto tradurre la richiesta.
Io ho cominciato partizionando la popolazione degli ammalati in quelli che hanno assunto il nuovo farmaco, diciamo $F$, e quelli che non lo hanno assunto, chiamati $\bar{F}$.
Può esistere inoltre l'insieme di chi ha subito miglioramenti che possiamo chiamare $M$.
Dalla prima informazione si ha che $P(F) = 70/100$ e $P(\bar{F}) = 30/100$.
A questo punto posso calcolare il $60%$ di $70/100$ che mi da $42/100$ ma non so a che evento assegnare questa probabilità. Idem per il $30%$ di $30/100$. Come posso impostarlo?
"Il 70% di un gruppo di ammalati di gastrite è stato sottoposto alla cura di un nuovo farmaco che ha sostituito il precedente e il 60% ha ottenuto un miglioramento. Fra le persone non sottoposte al trattamento del nuovo farmaco ha ottenuto un miglioramento il 30%. Calcola la probabilità di efficacia del nuovo farmaco".
La mia difficoltà è quella di tradurre il testo negli eventi corretti e sopratutto tradurre la richiesta.
Io ho cominciato partizionando la popolazione degli ammalati in quelli che hanno assunto il nuovo farmaco, diciamo $F$, e quelli che non lo hanno assunto, chiamati $\bar{F}$.
Può esistere inoltre l'insieme di chi ha subito miglioramenti che possiamo chiamare $M$.
Dalla prima informazione si ha che $P(F) = 70/100$ e $P(\bar{F}) = 30/100$.
A questo punto posso calcolare il $60%$ di $70/100$ che mi da $42/100$ ma non so a che evento assegnare questa probabilità. Idem per il $30%$ di $30/100$. Come posso impostarlo?
Risposte
"Alino":
A questo punto posso calcolare il $60%$ di $70/100$ che mi da $42/100$ ma non so a che evento assegnare questa probabilità.
$P(M|F)$ supponendo che il 60% sia di quel 70% e non di tutti i malati. Altrimenti $P(M)$ e in effetti non sono sicuro.
Mi sa che mi sono sbagliato. Se 60% è $P(M|F)$, 42% è $P(M\cap F)$.
"ghira":
$P(M|F)$ supponendo che il 60% sia di quel 70% e non di tutti i malati. Altrimenti $P(M)$ e in effetti non sono sicuro.
Questo è il primo problema che ho incontrato e la causa mi pare sia la poca chiarezza del testo. Si potrebbe provare a percorrere entrambe le strade per vedere quale è corretta.
"ghira":
Quello che devi calcolare è $P(M|F)$? In tal caso, il 60% deve essere $P(M)$, direi.
Tradurre la richiesta finale è ancora una questione aperta. Non credo di dover calcolare $P(M|F)$ perché lo avrei immediatamente da quanto abbiamo detto sopra.
"Alino":
[quote="ghira"]
Quello che devi calcolare è $P(M|F)$? In tal caso, il 60% deve essere $P(M)$, direi.
Tradurre la richiesta finale è ancora una questione aperta. Non credo di dover calcolare $P(M|F)$ perché lo avrei immediatamente da quanto abbiamo detto sopra.[/quote]
Ecco cosa mi spinge a credere che quel 60% debba essere $P(M)$.
Supponiamo che sia $P(M) = 60/100$ e che io debba trovare $P(M | F)$.
I dati che ho sono:
$P(F)=70/100$ probabilità di essere sottoposto a nuovo farmaco;
$P(\bar{F})=30/100$ probabilità di NON essere sottoposto a nuovo farmaco;
$P(M) = 60/100$ probabilità di ottenere un miglioramento;
$P(M | \bar{F}) = 30/100$ probabilità di ottenere un miglioramento per chi NON è sotto effetto del nuovo farmaco.
Utilizzando Bayes ho che:
$P(\bar{F} | M)=\frac{P(M | \bar{F})P(\bar{F})}{P(M)}= 3/20$.
A questo punto posso usare le proprietà della probabiità condizionata per dire che:
$P(F | M) = 1-P(\bar{F} | M)=1-3/20=17/20$.
Ora posso rispondere alla richiesta del problema usando sempre Bayes:
$P(M | F)=\frac{P(F | M)P(M)}{P(F)}=51/70$ che però non corrisponde alla soluzione.
Ho seguito un procedimento un po' contorto ma mi pare che i passaggi siano leciti. Ho sbagliato qualcosa? Oppure siamo partiti da presupposti sbagliati?
I dati che ho sono:
$P(F)=70/100$ probabilità di essere sottoposto a nuovo farmaco;
$P(\bar{F})=30/100$ probabilità di NON essere sottoposto a nuovo farmaco;
$P(M) = 60/100$ probabilità di ottenere un miglioramento;
$P(M | \bar{F}) = 30/100$ probabilità di ottenere un miglioramento per chi NON è sotto effetto del nuovo farmaco.
Utilizzando Bayes ho che:
$P(\bar{F} | M)=\frac{P(M | \bar{F})P(\bar{F})}{P(M)}= 3/20$.
A questo punto posso usare le proprietà della probabiità condizionata per dire che:
$P(F | M) = 1-P(\bar{F} | M)=1-3/20=17/20$.
Ora posso rispondere alla richiesta del problema usando sempre Bayes:
$P(M | F)=\frac{P(F | M)P(M)}{P(F)}=51/70$ che però non corrisponde alla soluzione.
Ho seguito un procedimento un po' contorto ma mi pare che i passaggi siano leciti. Ho sbagliato qualcosa? Oppure siamo partiti da presupposti sbagliati?
"Alino":
$P(F)=70/100$ probabilità di essere sottoposto a nuovo farmaco;
$P(\bar{F})=30/100$ probabilità di NON essere sottoposto a nuovo farmaco;
$P(M) = 60/100$ probabilità di ottenere un miglioramento;
$P(M | \bar{F}) = 30/100$ probabilità di ottenere un miglioramento per chi NON è sotto effetto del nuovo farmaco.
$P(M \cap \bar{F})=9/100$
$P(M \cap F)=51/100$
$P(M | F)=51/70$.
Ma dici che questa non è la risposta. Che risposta hai? Magari possiamo trovare un modo per ottenerla.
Ciao @Alino e ciao anche @ghira, naturalmente.
Dopo un po' di tempo provo a rispondere ad un post, anche se per questo post in particolare è trascorso qualche giorno. Premesso che detesto la probabilità ed il calcolo combinatorio (sarà perché gli esercizi di questo tipo mi vengono al primo colpo non più del 33% delle volte
) e che, per quanto possa valere la mia opinione, il testo richiede un po' di interpretazione, io farei così:
$p(F)=0.7$: probabilità di aver assunto il farmaco
$p(bar(F))=0.3$: probabilità di non aver assunto il farmaco
$p(M|F)=0.6$: probabilità di ottenere un miglioramento in chi ha assunto il farmaco
$p(M|bar(F))=0.3$: probabilità di un miglioramento in chi NON ha assunto il farmaco
$p(M)$: probabilità di chi ha ottenuto un miglioramento (la calcolo tra un momento con disintegrazione)
L'esercizio mi pare chieda $p(F|M)$ cioè la probabilità di aver assunto il farmaco dato che si è ottenuto un miglioramento (almeno io ho inteso così l'efficacia del farmaco, ma non ti nascondo che ci ho dovuto ragionare un bel po'](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
).
Per cui, per Bayes:
Ora, come accennato prima, calcolo $p(M)$ con disintegrazione, per cui si ha: $p(M)=p(M|F)*p(F)+p(M|bar(F))*p(bar(F))$; mettendo tutto in Bayes si ha:
$p(F|M)=(p(M|F)*p(F))/(p(M))=(p(M|F)*p(F))/(p(M|F)*p(F)+p(M|bar(F))*p(bar(F)))=(0.6*0.7)/(0.6*0.7+0.3*0.3)=14/17$
@Alino ti prego di confermare il mio risultato in caso tu abbia il risultato corretto dell'esercizio e spero che il mio ragionamento sia corretto e chiaro, in caso contrario non esitare a chiedere e, come sempre,
saluti
Dopo un po' di tempo provo a rispondere ad un post, anche se per questo post in particolare è trascorso qualche giorno. Premesso che detesto la probabilità ed il calcolo combinatorio (sarà perché gli esercizi di questo tipo mi vengono al primo colpo non più del 33% delle volte
) e che, per quanto possa valere la mia opinione, il testo richiede un po' di interpretazione, io farei così:$p(F)=0.7$: probabilità di aver assunto il farmaco
$p(bar(F))=0.3$: probabilità di non aver assunto il farmaco
$p(M|F)=0.6$: probabilità di ottenere un miglioramento in chi ha assunto il farmaco
$p(M|bar(F))=0.3$: probabilità di un miglioramento in chi NON ha assunto il farmaco
$p(M)$: probabilità di chi ha ottenuto un miglioramento (la calcolo tra un momento con disintegrazione)
L'esercizio mi pare chieda $p(F|M)$ cioè la probabilità di aver assunto il farmaco dato che si è ottenuto un miglioramento (almeno io ho inteso così l'efficacia del farmaco, ma non ti nascondo che ci ho dovuto ragionare un bel po'
).Per cui, per Bayes:
$p(F|M)=(p(M|F)*p(F))/(p(M))$
Ora, come accennato prima, calcolo $p(M)$ con disintegrazione, per cui si ha: $p(M)=p(M|F)*p(F)+p(M|bar(F))*p(bar(F))$; mettendo tutto in Bayes si ha:
$p(F|M)=(p(M|F)*p(F))/(p(M))=(p(M|F)*p(F))/(p(M|F)*p(F)+p(M|bar(F))*p(bar(F)))=(0.6*0.7)/(0.6*0.7+0.3*0.3)=14/17$
@Alino ti prego di confermare il mio risultato in caso tu abbia il risultato corretto dell'esercizio e spero che il mio ragionamento sia corretto e chiaro, in caso contrario non esitare a chiedere e, come sempre,
saluti
Chiedo scusa a @ghira per aver abbandonato la conversazione ma gli impegni della vita mi hanno portato altrove!
Oggi ho aperto per caso il forum e ho trovato la risposta di @BayMax che è corretta!
Analizzando il problema a posteriori, il mio errore è stato quello di aver considerato la richiesta del problema come $P(M | F)$ invece di $P(F | M)$, che in effetti ha più senso.
Ringrazio @ghira per aver cercato un'alternativa, probabilmente con in testa la richiesta corretta saremmo andati dritti al punto. Ringrazio chiaramente anche @BayMax per lo svolgimento!
Oggi ho aperto per caso il forum e ho trovato la risposta di @BayMax che è corretta!
Analizzando il problema a posteriori, il mio errore è stato quello di aver considerato la richiesta del problema come $P(M | F)$ invece di $P(F | M)$, che in effetti ha più senso.
Ringrazio @ghira per aver cercato un'alternativa, probabilmente con in testa la richiesta corretta saremmo andati dritti al punto. Ringrazio chiaramente anche @BayMax per lo svolgimento!
"BayMax":
L'esercizio mi pare chieda $p(F|M)$ cioè la probabilità di aver assunto il farmaco dato che si è ottenuto un miglioramento (almeno io ho inteso così l'efficacia del farmaco, ma non ti nascondo che ci ho dovuto ragionare un bel po'
" la probabilità di efficacia del nuovo farmaco" è $P(F|M)$? Non ci sarei mai arrivato.
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