Esercizio su fasci di parabole assegnato all'esame di stato
è dato il seguente fascio:
$ y = ( a + 1)x^(2)-2( a + 1)x+1 $ y=(a+1)x^2-2(a+1)x+1
1) Trovare i parametri $ a1 $ e $ a2 $ delle linee del fascio simmetriche rispetto alla retta $ y = 1 $ ed aventi nel punto comune di ascissa nulla (uno dei punti base), tangenti tra loro perpendicolari.
2) Calcola l'area della regione di piano delimitata dalle linee ottenute.
Grazie
$ y = ( a + 1)x^(2)-2( a + 1)x+1 $ y=(a+1)x^2-2(a+1)x+1
1) Trovare i parametri $ a1 $ e $ a2 $ delle linee del fascio simmetriche rispetto alla retta $ y = 1 $ ed aventi nel punto comune di ascissa nulla (uno dei punti base), tangenti tra loro perpendicolari.
2) Calcola l'area della regione di piano delimitata dalle linee ottenute.
Grazie
Risposte
@quentin92
Per cortesia, potresti riscrivere l'equazione della parabola, i parametri e l'equazione della retta servendoti opportunamente del MathML o del TeX; potresti anche riportare il corpo del testo alla dimensione standard. Il tutto concordemente col nostro regolamento (invero, il corpo del testo a dimensione standard è una mia richiesta).
Grazie e buona permanenza.
Per cortesia, potresti riscrivere l'equazione della parabola, i parametri e l'equazione della retta servendoti opportunamente del MathML o del TeX; potresti anche riportare il corpo del testo alla dimensione standard. Il tutto concordemente col nostro regolamento (invero, il corpo del testo a dimensione standard è una mia richiesta).
Grazie e buona permanenza.
ok
Potresti iniziare a cercare di capire qual è il legame tra l'[tex]a_1[/tex] e l'[tex]a_2[/tex] di due parabole simmetriche rispetto a quella retta, per poi aggiungere le altre condizioni:
prediamo le due parabole:
[tex]\gamma_1:\,\,\,y=(a_1+1)x^2-2(a_1+1)x+1[/tex]
[tex]\gamma_2:\,\,\,y=(a_2+1)x^2-2(a_2+1)x+1[/tex]
devi trasformare una delle due rispetto a quella simmetria e imporre che coincida con l'altra.....
poi calcoli i coefficienti angolari delle tangenti alle due parabole nel punto dato (hint: c'entrano le derivate), e imponi che siano uno il reciproco opposto dell'altro...
P.S: porre [tex]b = a+1[/tex] potrebbe semplificarti i conti.
prediamo le due parabole:
[tex]\gamma_1:\,\,\,y=(a_1+1)x^2-2(a_1+1)x+1[/tex]
[tex]\gamma_2:\,\,\,y=(a_2+1)x^2-2(a_2+1)x+1[/tex]
devi trasformare una delle due rispetto a quella simmetria e imporre che coincida con l'altra.....
poi calcoli i coefficienti angolari delle tangenti alle due parabole nel punto dato (hint: c'entrano le derivate), e imponi che siano uno il reciproco opposto dell'altro...
P.S: porre [tex]b = a+1[/tex] potrebbe semplificarti i conti.
Tratta il fascio come fosse una singola parabola, e rileggi le richieste:
1. determina la parabola simmetrica a quella data rispetto alla retta y=1 (applica le equazioni della simmetria assiale)
2. la parabola data (il fascio) e la parabola trasformata devono avere tangenti perpendicolari in (0,1) : determina il coefficiente angolare della tangente al fascio in (0,1) ricordando il significato geometrico della derivata di una funzione in un punto, fai lo stesso per la parabola trasformata.
Ora che hai i due coefficienti angolari applica la condizione di perpendicolarità tra rette: otterrai un'equazione di 2° grado in a, le cui soluzioni sono i valori richiesti dal problema.
Sostituisci i valori ottenuti nel fascio in modo da ottenere le equazioni delle due parabole, traccia un bel grafico e calcola l'integrale richiesto.
Buon lavoro,
S.
1. determina la parabola simmetrica a quella data rispetto alla retta y=1 (applica le equazioni della simmetria assiale)
2. la parabola data (il fascio) e la parabola trasformata devono avere tangenti perpendicolari in (0,1) : determina il coefficiente angolare della tangente al fascio in (0,1) ricordando il significato geometrico della derivata di una funzione in un punto, fai lo stesso per la parabola trasformata.
Ora che hai i due coefficienti angolari applica la condizione di perpendicolarità tra rette: otterrai un'equazione di 2° grado in a, le cui soluzioni sono i valori richiesti dal problema.
Sostituisci i valori ottenuti nel fascio in modo da ottenere le equazioni delle due parabole, traccia un bel grafico e calcola l'integrale richiesto.
Buon lavoro,
S.
Whisky, occhio all'imporre la coincidenza tra curva e trasformata!
Stai lavorando con un fascio...
Prova a imporre la coincidenza dopo la trasformazione e discuti il risultato
edit
Mi spiego meglio: non mi ero accorta che avevi impostato il problema con due valori distinti per a.
A mio parere non ha un gran senso utilizzare due valori differenti del parametro e uguagliare i coefficienti del fascio e della trasformata, in quanto, applicando le equazioni della trasformazione, hai di fatto costruito la simmetrica.
Ti troveresti a dovere discutere un sistema in due variabili, quando in realtà puoi ridurre il problema ad un'equazione di secondo grado nell'unica variabile a.
Sei d'accordo?
Ciao,
S.
Stai lavorando con un fascio...
Prova a imporre la coincidenza dopo la trasformazione e discuti il risultato
edit
Mi spiego meglio: non mi ero accorta che avevi impostato il problema con due valori distinti per a.
A mio parere non ha un gran senso utilizzare due valori differenti del parametro e uguagliare i coefficienti del fascio e della trasformata, in quanto, applicando le equazioni della trasformazione, hai di fatto costruito la simmetrica.
Ti troveresti a dovere discutere un sistema in due variabili, quando in realtà puoi ridurre il problema ad un'equazione di secondo grado nell'unica variabile a.
Sei d'accordo?
Ciao,
S.
"mathmum":
Whisky, occhio all'imporre la coincidenza tra curva e trasformata!
Mi spiego meglio: non mi ero accorta che avevi impostato il problema con due valori distinti per a.
A mio parere non ha un gran senso utilizzare due valori differenti del parametro e uguagliare i coefficienti del fascio e della trasformata, in quanto, applicando le equazioni della trasformazione, hai di fatto costruito la simmetrica.
Ti troveresti a dovere discutere un sistema in due variabili, quando in realtà puoi ridurre il problema ad un'equazione di secondo grado nell'unica variabile a.
Sei d'accordo?
Ciao,
S.
Intendi dire: prendo la generica parabola del fascio [tex]\to[/tex] la trasformo [tex]\to[/tex] ricavo la relazione tra il parametro della parabola e quello della sua simmetrica per confronto?
Se intendi questo, di fatto è la stessa cosa... tant'è che il "sistema" viene semplicissimo (se provi in realtà c'è un'equazione sola), e comunque non stavo cercando valori specifici di [tex]a_1[/tex] e [tex]a_2[/tex] ma solo la relazione tra essi (segue nello spoiler)
Ad ogni modo, sì sono d'accordo, i due procedimenti mi paiono equivalenti
(solo una cosa: perché l'equazione sarebbe di secondo grado? Non è di primo grado in [tex]b[/tex]?)
Assegnare due valori distinti a un parametro equivale a "fissare" il parametro, e pur essendo il tuo procedimento corretto dal punto di vista del calcolo, snatura un po' il significato di a.
Anche dal punto di vista formale, hai preso a1, a2 e b. Tre variabili per discutere il solo parametro a. Puff. In questo caso non ne vedo la necessità, i calcoli non sono stratosferici e quindi è bello lavorare con l'unico parametro del problema.
Pensa se dovessi visualizzare i tuoi procedimenti utilizzando un software. Dovresti introdurre tre parametri al posto del singolo parametro a, che da solo ti basta a descrivere e studiare il fascio.
Lavorando solo con a, trasformi, derivi fascio e trasformata e imponi la perpendicolarità.
Capito cosa intendevo?
Ciao,
S.
Anche dal punto di vista formale, hai preso a1, a2 e b. Tre variabili per discutere il solo parametro a. Puff. In questo caso non ne vedo la necessità, i calcoli non sono stratosferici e quindi è bello lavorare con l'unico parametro del problema.
Pensa se dovessi visualizzare i tuoi procedimenti utilizzando un software. Dovresti introdurre tre parametri al posto del singolo parametro a, che da solo ti basta a descrivere e studiare il fascio.
Lavorando solo con a, trasformi, derivi fascio e trasformata e imponi la perpendicolarità.
Capito cosa intendevo?
Ciao,
S.
Capito cosa intendevo?
Ciao,S.
Certo certo, è esattamente quello che pensavo intendessi.
Per quanto riguarda il grado, ci venivano gradi differenti perché ci stavamo riferendo a parti del problema differenti.
Ad ogni modo per trovare la relazione tra parametro di una parabola e della sua trasformata, concettualmente devi per forza fissare il valore del parametro...
Avevo introdotto le due parabole differenti per i due valori differenti del parametro per omogeneità con la traccia del testo: in fin dei conti la traccia chiede proprio i due valori fissati del parametro. La terza variabile era palesemente solo per semplificare i conti
Ciao ciao
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