Esercizio statistica

[Thebestbart]

Mi potreste dire i risultati di questo esercizio e cosa avete fatto per far uscire quei risultati? L'ho fatto ma vorrei essere sicuro che sia giusto dato che sarò interrogato (es. 96)

[carlogiannini]

Premetto che la statistica non è il mio campo specifico, e mi capita raramente nelle mie ripetizioni, quindi può darsi che ci sia un metodo migliore e più "tecnico".
Ragionando "matematicamente" ti propongo questa soluzione.
Partiamo dallo schema.

[math]
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & x \\
\hline
3 & 4 & 2 & y & 5\\
\hline
\end{array}
[/math]

.
.
Come vedi abbiamo due incognite "x" e "y" e per poterle determinare UNIVOCAMENTE abbiamo bisogno di DUE EQUAZIONI, da ricavare dai dati del problema.
In questo caso solo UN dato è trasformabile in equazione, la MEDIA, mentre la MEDIANA si ricava EMPIRICAMENTE determinando il VALORE centrale (se i dati sono dispari) o la MEDIA ARITMETICA dei due centrali (se sono dispari)
Quindi è prevedibile che le soluzioni accettabili siano più di UNA coppia di "x" e "y" .
Partiamo dalla media:

[math]\\\frac{3\cdot 1+4\cdot 2+2\cdot 3+y\cdot 4+5\cdot x}{3+4+2+y+5}=5\\\frac{5x+4y+17}{y+14}=5\\5x+4y+17=5(y+14)\\5x+4y+17=5y+70\\y=5x-53\\[/math]

.
Perché questa scrittura abbia senso, bisogna che:
.

[math]x>0\\anzi:\\x>4\\e\\y>0\\cioè:\\5x-53>0\\x>\frac{53}{5}\\x>10,6\\quindi\\x\ge 11\\[/math]

,
Per quanto riguarda la MEDIANA scriviamo i dati in ordine crescente:
.
1-1-1-2-2-2-2-3-3-(qui ci vanno i "4" che non sappiamo quanti sono)-X-X-X-X-X.
.
Ora, a sinistra dei "4" ci sono NOVE numeri, quindi anche a destra del PRIMO "4" ci devono essere ALMENO altri NOVE numeri, se la MEDIANA deve cadere su un "4". CINDUE sono le "X", perciò ci devono essere ALMENO altri QUATTRO numeri "4" OLTRE al primo.
ESEMPIO:
1-1-1-2-2-2-2-3-3- 4 -4-4-4-4-X-X-X-X-X
oppure:
1-1-1-2-2-2-2-3-3- 4-4 -4-4-4-4-X-X-X-X-X
eccetera.
Pertanto:

[math]\\y\ge5\\[/math]

.
Sostituiamo il primo valore accettabile
x=11
e troviamo:

[math]\\y=5x-53\\y=(5\cdot 11)-53\\y=2\\[/math]

.
soluzione NON accettabile perché sappiamo che
y DEVE essere maggiore o uguale a 5.
Proviamo allora con

[math]\\x=12\\y=5x-53\\y=(5\cdot 12)-53\\y=7\\[/math]

da cui ricaviamo che il primo valore accettabile della "x" è 12 ed il corrispondente valore della "y" è 7

[math]\\x=12\\y=7\\(calcoliamo\ la\ MEDIA)\\\frac{3+8+6+28+60}{3+4+2+7+5}=\frac{105}{21}=5\\[/math]

.
Quindi abbiamo trovato una prima soluzione valida.
Basta ora provare a dare altri valori alla "x", ricavando la corrispondente "y" (oppure alla "y" per cercare la corrispondente "x") per verificare se vi sono altre soluzioni accettabili.
Se poniamo
x = 13
troviamo
y = 12
Controlliamo se con questi valori la media viene "5":
.

[math]MEDIA=\frac{3+8+6+48+65}{3+4+2+12+5}=\frac{130}{26}=5\\[/math]

,
quindi anche questa coppia rappresenta una soluzione valida, ecc. ecc.

Fammi sapere se ti sono stato d'aiuto.
Carlo