Esercizio semplice retta
Sia r la retta y=2x+4 ed A il punto di coordinate (4;0).
Determinare i punti P sulla retta, in modo che l'area di AOP=6.
Direi innanzitutto che la base del triangolo è dato da A, quindi vale 4. Poiché i punti della retta potrebbero essere sia sul primo che sul terzo quadrante, ( penso sia qst il ragionamento, ditemi se sbaglio) nel porre la formula dell' area del triangolo=6, (con altezza incognita) che risulta y=6 prendo anche il valore.negativo y=-6. I punti delle.coordinate sono così rispettivamente P1=( $ -1/2 $ ;3) P2= ($ -7/2$ ;-3). È giusto il calcolo? Ma soprattutto, perché i valori nella pratica non corrispondono ai punti sulla retta rappresentata graficamente?! Grazie a tutti
Determinare i punti P sulla retta, in modo che l'area di AOP=6.
Direi innanzitutto che la base del triangolo è dato da A, quindi vale 4. Poiché i punti della retta potrebbero essere sia sul primo che sul terzo quadrante, ( penso sia qst il ragionamento, ditemi se sbaglio) nel porre la formula dell' area del triangolo=6, (con altezza incognita) che risulta y=6 prendo anche il valore.negativo y=-6. I punti delle.coordinate sono così rispettivamente P1=( $ -1/2 $ ;3) P2= ($ -7/2$ ;-3). È giusto il calcolo? Ma soprattutto, perché i valori nella pratica non corrispondono ai punti sulla retta rappresentata graficamente?! Grazie a tutti
Risposte
il fatto che il testo dica n>0 mi ha fatto sorgere il dubbio, a sto punto perchè l'hanno scritto?!
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vorrei evitare di usare la formula "preconfezionata" come la chiami tu:
$ +-1/ 2 | ( x2-x1 , y2-y1 ),( x3-x1 , y3-y1 ) | $
in questo esercizio (che il prof ci fece risolvere con la formula ora citata):
sia r la retta y=3x
i punti A(1,2) e B(2,3).
Trovare il punto C (tale che sia nel 3^quadrante) della retta r, cosicchè il triangolo ABC abbia area pari a 3.
Qui la base non è parallela agli assi, non mi pare che percio' possa calcolarla direttamente... pero' vorrei evitare formule e formulette che non memorizzo... Mi sapresti consigliare qualcosa di più "intuitivo"?
Ti ringrazio in anticipo
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vorrei evitare di usare la formula "preconfezionata" come la chiami tu:
$ +-1/ 2 | ( x2-x1 , y2-y1 ),( x3-x1 , y3-y1 ) | $
in questo esercizio (che il prof ci fece risolvere con la formula ora citata):
sia r la retta y=3x
i punti A(1,2) e B(2,3).
Trovare il punto C (tale che sia nel 3^quadrante) della retta r, cosicchè il triangolo ABC abbia area pari a 3.
Qui la base non è parallela agli assi, non mi pare che percio' possa calcolarla direttamente... pero' vorrei evitare formule e formulette che non memorizzo... Mi sapresti consigliare qualcosa di più "intuitivo"?
Ti ringrazio in anticipo
"Myriam92":
il fatto che il testo dica n>0 mi ha fatto sorgere il dubbio, a sto punto perchè l'hanno scritto?!
Perché se $n in ZZ$ allora avresti avuto due punti $C$ ma all'autore ne interessava solo uno ...
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Quella formula non la conosco ma non mi viene niente di più intuitivo ... presumo che quella sia "l'elaborazione definitiva" di altri metodi ... per esempio a me verrebbe di trovare la distanza tra $A$ e $B$ (come base), trovare quindi l'altezza, l'equazione della retta $AB$ e usare la formula della distanza punto-retta oppure usando le distanza lungo gli assi dei tre punti trovare l'area del rettangolo che contiene il triangolo e poi togliere le tre aree dei tre triangolini esterni da escludere (e così a occhio mi sa che quella formula lì deriva da questa opzione) ...
quella dei triangolini non mi piace, 
potrei trovare quindi la retta passante per AB e poi la distanza della retta da un punto? ma il punto ha delle coordinate in funzione di x o y pero' al momento... si puo'?
potrei trovare quindi la retta passante per AB e poi la distanza della retta da un punto? ma il punto ha delle coordinate in funzione di x o y pero' al momento... si puo'?
Io ti direi anzi ti dico di usare quella formula che probabilmente è la strada migliore (e penso proprio che sia ricavata dai "triangolini" ... magari ci provo a ricavarla ... 
)
Se invece vuoi fare nell'altro modo ...
Trova la retta $AB$, trova la distanza $AB$, trova l'altezza ... ed infine metti a sistema la formula della distanza retta-punto (punto $C$-retta $AB$) con l'equazione della retta $r$ ... in pratica è molto più semplice di quello che sembra ... anche se la formula del prof probabilmente è migliore ...
EDIT:
Ho fatto due conti e confermo: la formula del prof e il procedimento con i "triangolini" sono la stessa cosa ... forse è per quello che non ti piacciono ...
)Se invece vuoi fare nell'altro modo ...
Trova la retta $AB$, trova la distanza $AB$, trova l'altezza ... ed infine metti a sistema la formula della distanza retta-punto (punto $C$-retta $AB$) con l'equazione della retta $r$ ... in pratica è molto più semplice di quello che sembra ... anche se la formula del prof probabilmente è migliore ...
EDIT:
Ho fatto due conti e confermo: la formula del prof e il procedimento con i "triangolini" sono la stessa cosa ... forse è per quello che non ti piacciono ...
allora vada per la formula preconfezionata...o preimpacchettata?
(meno male che nn convenivano
ah pero' quell'altro es aveva la base parallela agli assi cartesiani...)
ovviamente nn oso chiederti infatti come funziona(c'entra il tetris? )
Grazie ancora, notte
(meno male che nn convenivano
ah pero' quell'altro es aveva la base parallela agli assi cartesiani...)ovviamente nn oso chiederti infatti come funziona(c'entra il tetris?
)Grazie ancora, notte
Niente di particolare ... se si ha la pazienza di fare i conti che ho detto (il rettangolo meno i tre triangolini ovviamente calcoli letterali non numerici) si arriva ad un'espressione che è uguale a quella di quel determinante ... tutto lì ...
Buona Notte,
Alex
Buona Notte,
Alex
Siano le rette
R: y=3x+5
S :y=k con k]0,5[
Trovate k tale che l'area del trapezio delimitato da R,S,X,Y valga 3/2 .
Vado al dunque
Ho impostato il calcolo dell'area così
$((|-5/3+k/3-5/3|)k)/2=3/2$
Qualcosa non va? Il delta quarti dell'equazione di secondo grado viene 34?
R: y=3x+5
S :y=k con k]0,5[
Trovate k tale che l'area del trapezio delimitato da R,S,X,Y valga 3/2 .
Vado al dunque
Ho impostato il calcolo dell'area così
$((|-5/3+k/3-5/3|)k)/2=3/2$
Qualcosa non va? Il delta quarti dell'equazione di secondo grado viene 34?
Non so se ti posso aiutare perché non ho idea del metodo che stai usando (o che devi usare) ... comunque mi sono "ribaltato" il grafico ed invertito $x$ con $y$ per "capirlo meglio" ... ... insomma il risultato è $k=1$ e il $Delta$ nella mia equazione di secondo grado viene $64=100-36$ ...
... insomma il risultato è $k=1$ e il $Delta$ nella mia equazione di secondo grado viene $64=100-36$ ...
Io faccio così
Trovo l'intersezione tra la retta r e l'asse delle x ( la cui ascissa sarà la base maggiore del trapezio cioè -5/3);
Pongo a sistema la retta s con la.retta r , la cui intersezione avrà coordinate $( k/3-5/3;0)$ con ascissa stavolta corrispondente alla.base minore.... Da ciò la formula di ieri sera... Spero.di essere stata chiara grazie
PS
È un esercizio banalissimo, penso il più banale in assoluto... Ma il tuo ribaltamento del grafico per capire meglio forse mi fa pensare che nn sia proprio così? xD
Trovo l'intersezione tra la retta r e l'asse delle x ( la cui ascissa sarà la base maggiore del trapezio cioè -5/3);
Pongo a sistema la retta s con la.retta r , la cui intersezione avrà coordinate $( k/3-5/3;0)$ con ascissa stavolta corrispondente alla.base minore.... Da ciò la formula di ieri sera... Spero.di essere stata chiara grazie
PS
È un esercizio banalissimo, penso il più banale in assoluto... Ma il tuo ribaltamento del grafico per capire meglio forse mi fa pensare che nn sia proprio così? xD
L'ho "ribaltato" non perché fosse necessario ma solo perché non riuscivo a "visualizzarlo" bene ...
Ho fatto così ...
Dopo il ribaltamento abbiamo:
$f(x)=-x/3+5/3$
$g(x)=k$ con $0
Quindi ...
Base maggiore $f(0)$
Base minore $f(k)$
Altezza $k$
Area trapezio
$3/2=((f(0)+f(k))k)/2\ ->\ 3=(5/3-k/3+5/3)k\ ->\ 3=10/3k-k^2/3\ ->\ k^2-10k+9=$ da cui $k=1$
Ho fatto così ...
Dopo il ribaltamento abbiamo:
$f(x)=-x/3+5/3$
$g(x)=k$ con $0
Quindi ...
Base maggiore $f(0)$
Base minore $f(k)$
Altezza $k$
Area trapezio
$3/2=((f(0)+f(k))k)/2\ ->\ 3=(5/3-k/3+5/3)k\ ->\ 3=10/3k-k^2/3\ ->\ k^2-10k+9=$ da cui $k=1$
Mi stai dicendo che sbaglio a trovare l'intersezione tra retta s e retta r???
${ ( y=k ),( y=3x+5 ):}$
Per me l ascissa ( la base.Minore ) è$ k/3-5/3$
Forse mi confondo per via del valore assoluto... Come può risultati uguale ma opposta?
Non farmi il discorso ribaltato per favore
Il trapezio è già carino e dritto così com'è!
${ ( y=k ),( y=3x+5 ):}$
Per me l ascissa ( la base.Minore ) è$ k/3-5/3$
Forse mi confondo per via del valore assoluto... Come può risultati uguale ma opposta?
Non farmi il discorso ribaltato per favore
Il trapezio è già carino e dritto così com'è!
L'ho ribaltato proprio perché non mi trovavo coi segni ...
Altro che " vederlo meglio " xD xD
Quindi senza ribaltarlo nn risulta nemmeno a te ? ( La cosa è grave 0_0)... Su non ci credo, svela il trucco!
-----
Oggi mi sto spennando, tutte le rette dello stesso tipo e i conti non tornano!!!
Sia R y=x+5
T y=5
S la perpendicolare ad R passante per P(1,6)
V y=k con k ]0,5[
Trovare k tale che l'area del trapezio (v,s,t,y) sia 21/2
S mi viene y=7-x
L'ho intersecata con V ottenendo (7-k,k), e con T ( 2;5)
Area=$ ((7-k)+2)k=21 -> (9-k)k=21$ che ha delta negativo
Io penso ci sia un problema.di fondo comune in questi due Esercizi... non capisco quale spero tu mi possa aiutare 
.. grazie
Quindi senza ribaltarlo nn risulta nemmeno a te ? ( La cosa è grave 0_0)... Su non ci credo, svela il trucco!
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Oggi mi sto spennando, tutte le rette dello stesso tipo e i conti non tornano!!!
Sia R y=x+5
T y=5
S la perpendicolare ad R passante per P(1,6)
V y=k con k ]0,5[
Trovare k tale che l'area del trapezio (v,s,t,y) sia 21/2
S mi viene y=7-x
L'ho intersecata con V ottenendo (7-k,k), e con T ( 2;5)
Area=$ ((7-k)+2)k=21 -> (9-k)k=21$ che ha delta negativo
Io penso ci sia un problema.di fondo comune in questi due Esercizi... non capisco quale
spero tu mi possa aiutare .. grazie
Secondo me con questo tipo di esercizi non ti conviene ragionare per formule ma fai un bel disegnino e prendi le lunghezze in modo che siano sempre positive ...
Nel primo trapezio per esempio, senza ribaltarlo, vedi che la base maggiore ha dimensione $5/3$ mentre la base minore "sarebbe" $k/3-5/3$ (che è giusto) ma dato che $k>0$ la somma algebrica sarebbe negativa perciò nel calcolo dell'area tu "metti" $5/3-k/3$ in modo tale che ti venga $10/3-k/3$ (che poi moltiplicato per $k$ porta all'equazione $10/3k-k^2/3-3=0\ ->\ k^2-10k+9=0$ e al risultato di $k=1$)
Fai lo stesso con il secondo ... hai $r: y=x+5$ e $s: y=-x+7$ da cui ricavi subito che la base minore è $2$ (intersecando $t$ con $r$ e $s$); intersecando $v$ sempre con $r$ e $s$ ottieni le due ascisse $k-5$ e $7-k$ per cui la base maggiore sarà $7-k-k+5=12-2k$ mentre l'altezza del trapezio sarà $5-k$.
Metti insieme il tutto ed hai $((2+12-2k)(5-k))/2=21/2\ ->\ (14-2k)(5-k)=21\->\ 70+2k^2-24k-21=0\ ->$
$2k^2-24k+49=0$ da cui $k=(24-2sqrt(46))/4=2.61$
Nel primo trapezio per esempio, senza ribaltarlo, vedi che la base maggiore ha dimensione $5/3$ mentre la base minore "sarebbe" $k/3-5/3$ (che è giusto) ma dato che $k>0$ la somma algebrica sarebbe negativa perciò nel calcolo dell'area tu "metti" $5/3-k/3$ in modo tale che ti venga $10/3-k/3$ (che poi moltiplicato per $k$ porta all'equazione $10/3k-k^2/3-3=0\ ->\ k^2-10k+9=0$ e al risultato di $k=1$)
Fai lo stesso con il secondo ... hai $r: y=x+5$ e $s: y=-x+7$ da cui ricavi subito che la base minore è $2$ (intersecando $t$ con $r$ e $s$); intersecando $v$ sempre con $r$ e $s$ ottieni le due ascisse $k-5$ e $7-k$ per cui la base maggiore sarà $7-k-k+5=12-2k$ mentre l'altezza del trapezio sarà $5-k$.
Metti insieme il tutto ed hai $((2+12-2k)(5-k))/2=21/2\ ->\ (14-2k)(5-k)=21\->\ 70+2k^2-24k-21=0\ ->$
$2k^2-24k+49=0$ da cui $k=(24-2sqrt(46))/4=2.61$
Per il primo ci sono ma per il secondo ti è sfuggita una cosa....
Al momento del calcolo dell'area avremo$ ((7-k)+2)k=21 -> (9-k)k=21 $
E visto che k è max 5 stavolta il ragionamento mi sa che non torna ...Già così il risultato di base maggiore+base minore sarà positivo di suo...
"Myriam92":
Trovare k tale che l'area del trapezio (v,s,t,y) sia 21/2
Al momento del calcolo dell'area avremo$ ((7-k)+2)k=21 -> (9-k)k=21 $
E visto che k è max 5 stavolta il ragionamento mi sa che non torna ...Già così il risultato di base maggiore+base minore sarà positivo di suo...
Guarda che $7-k$ è solo un pezzo della base maggiore, devi sommarci l'altro pezzo che è, in valore assoluto, $5-k$, ma senza considerare il concetto di valore assoluto basta fare la differenza tra le due ascisse $7-k-(k-5)=7-k-k+5=12-2k$; ovviamente poi alla base maggiore va aggiunta la base minore ($2$).
Fatti un disegnino prima, ascoltami ...
Fatti un disegnino prima, ascoltami ...
...
Hai visto che l'area del trapezio NON deve comprendere la retta r? Quindi 7-k è la nostra base intera ... Il semiasse negativo di x significa che non ci interessa a sto punto.. Infatti k (stranamente) non ti viene un numero intero..
Io lavoro SEMPRE sul disegno
Hai visto che l'area del trapezio NON deve comprendere la retta r? Quindi 7-k è la nostra base intera ... Il semiasse negativo di x significa che non ci interessa a sto punto.. Infatti k (stranamente) non ti viene un numero intero..
Io lavoro SEMPRE sul disegno
Ok, mi sono perso le tue letterine minuscole ( ) però l'altezza non è $k$ ma $5-k$ ... ... $k=2$
Per fortuna che lavori sempre sul disegno ...
) però l'altezza non è $k$ ma $5-k$ ... ... $k=2$Per fortuna che lavori sempre sul disegno ...
Piccole ma te le avevo riportate in grassetto
Fa nulla, grazie ancora per l'aiuto
Fa nulla, grazie ancora per l'aiuto
"Myriam92":
Oggi mi sto spennando, tutte le rette dello stesso tipo e i conti non tornano!!!
Sia R y=x+5
T y=5
S la perpendicolare ad R passante per P(1,6)
V y=k con k ]0,5[
Trovare k tale che l'area del trapezio (v,s,t,y) sia 21/2
S mi viene y=7-x
L'ho intersecata con V ottenendo (7-k,k), e con T ( 2;5)
Area=$ ((7-k)+2)k=21 -> (9-k)k=21$ che ha delta negativo
La tua impostazione è corretta, solo che l'altezza non è $k$ ma, come ti ha già spiegato alex, è $5-k$. Avrai allora:
$((7-k)+2)(5-k)=21$ facilmente risolvibile.
P.S. Attenta quando hai i parametri perché le misure dei segmenti sono sempre positive, di conseguenza è importante considerare il valore assoluto delle lunghezze trovate. Nel problema precedente, dove alex ribaltava le figura, bastava osservare che una misura da te trovata era negativa nell'intervallo di variabilità di $k$ e di conseguenza andava presa con il segno cambiato (facendo ciò avresti subito risolto il problema senza aiuti).
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