Esercizio proprietà caratteristica insiemi

[DavidGnomo1]

Buonasera. Innanzitutto un augurio di un sereno anno nuovo, sperando che la situazione mondiale migliori.

Ho un dubbio. L'esercizio seguente richiede di rappresentare un sottoinsieme dell'insieme dato tabularmente e per caratteristica.

Sia dato l'insieme B={x : x multiplo di 3}

Tabularmente: $S={6, 9, 12, 15}$
Caratteristica: $S={x\in N : x=3n\ e\ 6\leq 3n\leq15\ con\ n=2, 3, 4, 5}$

L'ultima che ho scritto mi sembra forzata e non tanto corretta.

Grazie.

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Ciao,
Il sottoinsieme lo decidi tu?
Se per tabularmente intende per elencazione e hai deciso di prendere quell'insieme
\[ S= \{ 6,9,12,15 \} \]
va bene. Mentre per l'altro avrei scritto semplicemente
\[ S = \{ x \in B : 6 \leq x \leq 15 \} \]
dove chiaramente \( B = \{ x : x \text{ è un multiplo di } 3 \} \)

Edit:

"DavidGnomo":
Caratteristica: $S={x\in N : x=3n\ e\ 6\leq 3n\leq15\ con\ n=2, 3, 4, 5}$

Sostanzialmente ho minimizzato le cose. Dire \( x \in B \) è come dire \( x \in \mathbb{N} : x = 3n \). E poi ho semplicemente detto \( x \in B : 6 \leq x \leq 15 \) che è quello che hai detto te. Comunque andava bene anche come hai scritto tu. Solo una piccola precisazione
Scrivere
\[ S = \{ x \in \mathbb{N} : x= 3n \text{ e } 6 \leq 3n \leq 15 \} \]
è sufficiente (anzi è meglio) di scrivere
\[ S = \{ x \in \mathbb{N} : x= 3n \text{ e } 6 \leq 3n \leq 15 \text{ con } n=2,3,4,5 \} \]
perché l'ultima condizione su \(n\) è equivalente a dire \( 6 \leq 3n \leq 15 \), cioè stai scrivendo due volte la stessa cosa.

[DavidGnomo1]

Perfetto. In effetti mi era sembrato di essere un po' ridondante. Che poi ho visto che potevo anche scrivere "tale che x è multiplo di...." proprio a parole. Volevo, però, una versione più compatta come hai scritto tu. Grazieeeeeeee

Edit: si, i sottoinsiemi li posso decidere io.

[DavidGnomo1]

Domanda: ma non dovrei anche aggiungere la proprietà che $n \in N$?

Grazie

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Perché?

[DavidGnomo1]

Perché altrimenti potrei assegnare ad $n$ anche dei numeri reali. È anche vero che abbiamo messo la proprietà che $x \in N$. Per cui anche se volessimo attribuire dei valori ad $n$ non appartenenti ai naturali, verrebbero scartati....giusto?

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

No!
Quando definiamo un insieme qualunque
\[ A:= \{ x \in B : P \} \]
dove \(P \) è una proprietà qualsiasi. \(B \) si chiama insieme universo (o insieme del discorso). Hai per definizione che \( A \subset B \) perché se \(x \in A \) allora per forza \( x \in B \).

Tornando a noi
\[ S := \{ x \in B : P \} \]
dove \( B = \{ x : x \text{ è un multiplo di } 3 \} \). Ora per forza di cose se \(x \in S \) hai che \( x \in B \) quindi è un multiplo di \(3\). I multipli di un numero sono per definizione un intero. Quindi \( x \in \mathbb{Z} \), ora la nostra proprietà \(P \) è \( 6 \leq x \leq 15 \) quindi \( x \in \mathbb{N} \).

Puoi sì scrivere \( \{ x \in \mathbb{N} : P' \} \) ma devi cambiare la proprietà \( P \) perché la nostra di prima non basta. Devi prende ad esempio \( x \in B \) e \( 6 \leq x \leq 15 \).

edit: Nota che nella definizione di \(B \) non c'è l'insieme universo perché è chiaro dal contesto (ovvero lo deduci dalla proprietà che \(x \) è un intero).

[DavidGnomo1]

Giusto per quanto riguarda la $x$, però noi abbiamo utilizzato anche un'altra variabile, la $n$ di cui non abbiamo specificato esplicitamente da quale insieme prendere i valori. Abbiamo solo detto che $3n$ è compreso tra due valori. È anche vero che $3n=x$ per cui deve essere per forza un numero naturale e quindi ho detto una sciocchezza. Forse è meglio che vada a letto

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Vabbe io quando ho scritto
\[ S = \{ x \in B : 6 \leq x \leq 15 \} \]
non ci ho nessuna \(n \).
Se invece scrivi
\[ S = \{ x \in N : x= 3n , 6 \leq x \leq 15 \} \]
stai dicendo che \(x \) è un intero ed è multiplo di 3. Scrivere \( x = 3n \) è un modo per dire che è un multiplo di 3. Non hai bisogno di specificare dove sta \(n \) perché sai che \(x\) è intero.

[ot]mi piace la tua frase sotto [/ot]

[DavidGnomo1]

Bene ho capito ora. Scusa la testardaggine ma parlarne mi aiuta. Alla prossima ovvero domani, ho già altre domande su altri esercizi.

PS: thanks

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Non scusarti per la testardaggine, ogni domanda è lecita, chi fa matematica senza porsi domande fino ad aver capito, non la sta facendo bene

A me piace sempre pensare che i matematici sono un po' come dei bambini. Il loro gioco preferito è "perché?"