Esercizio probabilità con teorema di disintegrazione.

[Alexfromthegalaxy]

Ciao, potreste aiutarmi con questo problema?
Alex e Bob, appassionati di basket, gareggiano ai tiri liberi: alternandosi alla «lunetta», vince il primo che a parità di tentativi segna un canestro in più dell'altro. Sapendo che Alex ha il 60% di probabilità di centrare il canestro, mentreBob il 40%, qual è la probabilità che Alex vinca la sfida?
Io pensavo di ragionare così: la probabilità che alex vinca è uguale alla probabilità che alex segna per la probabilità che alex vince una volta che segna, sommato alla probabilità che nessuno segna per la probabilità che nessuno vinca una volta che nessuno segna.. potete dirmi cosa sbaglio?
Grazie a tutti.

[ghira1]

"Alexfromthegalaxy":
Alex e Bob, appassionati di basket, gareggiano ai tiri liberi: alternandosi alla «lunetta», vince il primo che a parità di tentativi segna un canestro in più dell'altro. Sapendo che Alex ha il 60% di probabilità di centrare il canestro, mentre Bob il 40%, qual è la probabilità che Alex vinca la sfida?
Io pensavo di ragionare così: la probabilità che alex vinca è uguale alla probabilità che alex segna per la probabilità che alex vince una volta che segna, sommato alla probabilità che nessuno segna per la probabilità che nessuno vinca una volta che nessuno segna.. potete dirmi cosa sbaglio?

Ho dovuto cercare https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_d ... tegrazione ... hmm. Va bene se non lo uso? O almeno, non consapevolmente.

Qui abbiamo tre stati. 0, A e B. Cominciamo in stato 0. Dopo due tiri ci troviamo in stato A con probabilità $0,36$ (Alex segna e Bob no), in stato B con probabilità $0,16$ (Bob segna e Alex no) e di nuovo in stato 0 con probabilità $0,48$ (segnano entrambi o nessuno). Negli stati A e B la sfida finisce.

Che probabilità $p$ c'è di arrivare prima o poi nello stato A cominciando nello stato 0?
$p=0,36+0,48p$.

Quindi $p=0,69$qualcosa. O se preferisci $p=\frac{36}{52}=\frac{9}{13}$.

Facciamo una simulazione...

#!/usr/bin/perl
$v=0;
$t=0;

while (1) {
	$a=0;
	$b=0;
	
	while ($a==$b) {
		if (rand()<0.6) {
			$a++;
			}
		if (rand()<0.4) {
			$b++;
			}
		}
		$t++;
		if ($a>$b) {
			$v++;
			}
		$p=$v/$t;
		print $p."\n";

Dopo qualche iterazione..

$0.692580741925807$

e le prime cifre sono quelle che abbiamo già visto. Se mi sono sbagliato almeno l'ho fatto in modo coerente.