Esercizio principio di induzione
Ciao a tutti!
Devo dimostrare col principio di induzione la seguente uguaglianza: $1/(1*2) + 1/(2*3) +...+1/[n*(n+1)]= n/(n+1)$
Innanzitutto mi sono calcolato l'uguaglianza per $n=3$ ed è verificata.
Poi ho supposto che l'uguaglianza che mi forniva il testo fosse vera, quindi ho provato a verificare $1/(1*2) + 1/(2*3) + ... + 1/[n*(n+1)] + 1/[n+1*(n+2)] = (n+1)/(n+2)$.
Il problema è che non so proprio come procedere per verificare l'uguaglianza. Consigli?
Devo dimostrare col principio di induzione la seguente uguaglianza: $1/(1*2) + 1/(2*3) +...+1/[n*(n+1)]= n/(n+1)$
Innanzitutto mi sono calcolato l'uguaglianza per $n=3$ ed è verificata.
Poi ho supposto che l'uguaglianza che mi forniva il testo fosse vera, quindi ho provato a verificare $1/(1*2) + 1/(2*3) + ... + 1/[n*(n+1)] + 1/[n+1*(n+2)] = (n+1)/(n+2)$.
Il problema è che non so proprio come procedere per verificare l'uguaglianza. Consigli?
Risposte
Devi dimostrare la tesi $1/(1*2) + 1/(2*3) + ... + 1/[n*(n+1)] + 1/[(n+1)*(n+2)] = (n+1)/(n+2)$
La prima ipotesi induttiva è verificata, l'uguaglianza è vera per $n=1$
La seconda ipotesi induttiva, che si suppone vera è $1/(1*2) + 1/(2*3) + ... + 1/[n*(n+1)] =n/(n+1)$
Inizi con il primo membro della tesi e devi arrivare al secondo attraverso l'uso della seconda ipotesi induttiva
$1/(1*2) + 1/(2*3) + ... + 1/[n*(n+1)] + 1/[(n+1)*(n+2)] =$ diventa, per la seconda ipotesi induttiva,
$=n/(n+1) + 1/[(n+1)*(n+2)]=$ facendo un po' di calcoli con il denominatore comune
$=(n*(n+2)+1)/[(n+1)*(n+2)]=$ ancora calcoli
$=(n^2+2n+1)/[(n+1)*(n+2)]=$ scomponi il quadrato
$=(n+1)^2/[(n+1)*(n+2)]=$ semplifica
$=(n+1)/(n+2)=$ hai ottenuto il secondo membro della tesi, quindi l'uguaglianza è dimostrata.
La prima ipotesi induttiva è verificata, l'uguaglianza è vera per $n=1$
La seconda ipotesi induttiva, che si suppone vera è $1/(1*2) + 1/(2*3) + ... + 1/[n*(n+1)] =n/(n+1)$
Inizi con il primo membro della tesi e devi arrivare al secondo attraverso l'uso della seconda ipotesi induttiva
$1/(1*2) + 1/(2*3) + ... + 1/[n*(n+1)] + 1/[(n+1)*(n+2)] =$ diventa, per la seconda ipotesi induttiva,
$=n/(n+1) + 1/[(n+1)*(n+2)]=$ facendo un po' di calcoli con il denominatore comune
$=(n*(n+2)+1)/[(n+1)*(n+2)]=$ ancora calcoli
$=(n^2+2n+1)/[(n+1)*(n+2)]=$ scomponi il quadrato
$=(n+1)^2/[(n+1)*(n+2)]=$ semplifica
$=(n+1)/(n+2)=$ hai ottenuto il secondo membro della tesi, quindi l'uguaglianza è dimostrata.
"@melia":
cut.
Vero! Non pensavo fosse così semplice...
Grazie per l'aiuto!
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