Esercizio primitive
Ciao a tutti! Avrei questo esercizio da svolgere:
Se la funzione $f(x)$ ha un massimo relativo nel punto $P(2;-3)$, esiste una primitiva di $f(x)$ che ammette un flesso in $P$?
Se $f(x)$ ha un massimo relativo nel punto $(2;-3)$, allora in un intorno di $x=2$ la funzione è sempre negativa; quindi una primitiva di $f(x)$, in un intorno di $2$, è sempre decrescente. Questo ragionamento non mi aiuta molto però…
La condizione necessaria per i flessi è rispettata, perché se $F(x)$ è una primitiva di $f(x)$, $F''(2)=0$ (questo l'ho dedotto considerando che deve essere $f'(2)=0$, altrimenti $(2;-3)$ non sarebbe un punto di massimo relativo…
Consigli?
Se la funzione $f(x)$ ha un massimo relativo nel punto $P(2;-3)$, esiste una primitiva di $f(x)$ che ammette un flesso in $P$?
Se $f(x)$ ha un massimo relativo nel punto $(2;-3)$, allora in un intorno di $x=2$ la funzione è sempre negativa; quindi una primitiva di $f(x)$, in un intorno di $2$, è sempre decrescente. Questo ragionamento non mi aiuta molto però…
La condizione necessaria per i flessi è rispettata, perché se $F(x)$ è una primitiva di $f(x)$, $F''(2)=0$ (questo l'ho dedotto considerando che deve essere $f'(2)=0$, altrimenti $(2;-3)$ non sarebbe un punto di massimo relativo…
Consigli?
Risposte
Supponiamo che $f(x)$ sia derivabile, e che 2 sia un punto interno al dominio, allora dire che ha un massimo relativo in 2 significa dire che $f'(2)=0$ e che in 2 la derivata cambia segno passando da positiva a negativa.
Sia $F(x)$ una delle primitive di $f(x)$, allora $F'(x)=f(x)$ e $F''(x)=f'(x)$, perciò, sotto le condizioni poste in precedenza, $F''(2)=0$, la derivata seconda cambia segno passando da positiva a negativa e $F(x)$ ha un flesso ascendente.
Ovviamente senza la derivabilità di $f(x)$ in 2 ci potrebbe essere un punto angoloso o una cuspide e $F(x)$ non avrebbe flesso, come ad esempio $f(x)=1-root(3)(x^2)$,
oppure se $f(x)=1-sqrt(2x-x^2)$, il suo dominio è $[0, 2]$, in 2 ha un massimo relativo, ma la sua primitiva non ha un flesso, in questo caso 2 non è interno al dominio, ma su un estremo.
Sia $F(x)$ una delle primitive di $f(x)$, allora $F'(x)=f(x)$ e $F''(x)=f'(x)$, perciò, sotto le condizioni poste in precedenza, $F''(2)=0$, la derivata seconda cambia segno passando da positiva a negativa e $F(x)$ ha un flesso ascendente.
Ovviamente senza la derivabilità di $f(x)$ in 2 ci potrebbe essere un punto angoloso o una cuspide e $F(x)$ non avrebbe flesso, come ad esempio $f(x)=1-root(3)(x^2)$,
oppure se $f(x)=1-sqrt(2x-x^2)$, il suo dominio è $[0, 2]$, in 2 ha un massimo relativo, ma la sua primitiva non ha un flesso, in questo caso 2 non è interno al dominio, ma su un estremo.
Ho capito. Mi ero dimenticato del teorema che collegava le derivate seconde di una funzione con i punti di flesso.
Grazie.
Grazie.
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